2.3. Уравнения Минковского
Формально уравнения Максвелла для движущейся среды могут быть получены усреднением соотношений (1.1) – (1.5) с учетом преобразований Лоренца (2.5), (2.6) и (2.8) для скоростей, полей, плотностей заряда и тока. Однако даже при движении с нерелятивистскими скоростями, удобнее, как это было отмечено Г. Минковским, рассматривать релятивистскую задачу, а затем, при необходимости, переходить к нерелятивистскому пределу.
Отметим, что движущаяся среда никак не меняет вида микроскопических уравнений поля. Такая среда учитывается видом плотности тока и плотности заряда в уравнениях (1.1) – (1.5). Характер усреднения от движения среды тоже не зависит, потому что усреднение происходит по объему и времени, определенных по отношению к лабораторной системе координат. Следовательно, уравнения Максвелла (1.28) – (1.31) для полей, записанных по отношению к лабораторной системе координат, справедливы для движущейся среды, так же как и для неподвижной, поскольку при их выводе использовались лишь такие общие свойства тел, не зависящее от движения, как равенство нулю полного заряда. Следует только выяснить, как поведут себя векторы D и H в случае движущейся среды.
Макроскопические поля Е и В получены усреднением соответствующих микроскопических полей, поскольку процедура усреднения инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца, компоненты полей Е и В образуют 4-тезор второго ранга электромагнитного поля Fik вида (2.10) элементами которого являются компоненты макроскопических полей. Для этого тензора справедливо уравнение (2.13), которое эквивалентно первой паре (1.28) и (1.29) уравнений Максвелла в среде.
С другой стороны, будучи справедливой как для неподвижных, так и для движущихся сред, вторая пара уравнений (1.30), (1.31) должна сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Для поля в пустоте векторы D и H совпадают с векторами Е и В. Поэтому для обеспечения релятивистской инвариантности уравнений (1.30) и (1.31) необходимо, чтобы компоненты векторов D и H преобразовывались как компоненты 4-тензора Нik, построенного аналогично 4-тензору Fik вида (2.10):
.
(2.15)
Введенный тензор удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению (2.14) для поля в пустоте и являющемуся 4-х мерной ковариантной формой уравнений (1.30) и (1.31) в среде:
.
(2.16)
4-х вектор плотности тока ji = {j, ic} включает здесь как ток проводимости, так и внешний ток, соответственно, и индуцированные и внешние заряды.
Заметим, что по
отношению к сопутствующей системе
координат среда является неподвижной,
и в силу принципа релятивизма, материальные
уравнения (1.37) в этой системе такие же,
как и для неподвижного тела. В случае
однородного и изотропного,
непироэлектрического и неферромагнитного
тела можно записать D
= E,
B
= H.
Для того чтобы построить связь между
векторами D, H
и Е, В в лабораторной системе,
то есть для движущейся среды, введем
4-вектор скорости, связанный с трехмерной
скоростью v соотношением
.
Нетрудно видеть, что 4-вектора Fikuk/c
и
Нikuk/c в неподвижной среде переходят соответственно в Е и D, так как их временные компоненты при этом обращаются в нуль. Поэтому 4-х мерным обобщением равенства D = E, является уравнение
Нikuk = Fikuk. (2.17)
Аналогичным образом можно убедиться, что 4-х мерным обобщением равенства B = H является уравнение
Fikul + Fklui + Fliuk = (Нikul + Hklui + Hliuk). (2.18)
Переходя от четырехмерных обозначений снова к трехмерным величинам, получим из тензорных уравнений (2.17) и (2.18) векторные уравнения Минковского:
D + [VH]/c = (E + [VB]/c), (2.19)
B + [EV]/c = (H + [DV]/c). (2.20)
Считая отношение v/c малым и решая эти уравнения относительно D и В, получим с точностью до членов первого порядка малости:
D = E + ( – 1)[VH]/c, (2.21)
B = H + ( – 1)[EV]/c. (2.22)
Эти материальные уравнения совместно с уравнениями Максвелла (1.28) – (1.31) составляют основы электродинамики движущихся сред.