2.2. Тензор электромагнитного поля

Поскольку электрическое и магнитное поля при переходе к движущейся системе отсчета связаны преобразованиями Лоренца (2.6), описывающими поворот системы координат в 4-х мерном пространстве Минковского, их удобно описывать, пользуясь понятиями 4-х мерных векторов и тензоров, сокращенно 4-векторов и 4-тензоров. 4-вектором называется упорядоченная совокупность четырех величин {А₁, А₂, А₃, А₄}, которая при повороте системы координат преобразуется так же как координаты мировой точки {х₁, х₂, х₃, х₄} в псевдоевклидовом пространстве Минковского по формуле (2.4): .

Преобразование Лоренца вида (2.4) оставляет инвариантом (скаля­ром) величину . Здесь вектор А объединяет три пространственные компоненты 4-вектора, а A₀ = A₄/i – его временная компонента. Скалярное произведение двух 4-векторов также инвариантно при преобра­зованиях Лоренца: . Существует и обратная теорема: если А_iB_i – скаляр, а А_i – 4-вектор, то и B_i – 4-вектор. На основании этой теоремы, и учитывая, что якобиан преобразования Лоренца равен 1, можно показать, что совокупность величин j_i = {v, ic} образует 4-вектор плотности тока. Отсюда следует, что плотности тока и заряда преобразуются при переходе от одной инерциа­ль­ной системе отсчета к другой по формулам, аналогичным преобразованию (2.3):

. (2.8)

4-тензором второго ранга называют упорядоченную совокупность 16 величин T_ij, преобразующуюся при лоренцовом преобразовании по закону:

. (2.9)

В частности, 4-тензор образуют величины А_iB_j, где А_i и B_i – произвольные 4-век­торы. Естественно, что при этом T_ii, то есть сумма диагональных компонент матрицы T_ij будет инвариантом при лоренцовых преобразованиях. Аналогично определяется 4-тензор третьего ранга как упорядоченная совокупность 64 величин T_iik, и т. д.

Важнейшим примером 4-тензора является тензор электромагнитного поля

, (2.10)

объединяющий компоненты векторов электрического е и магнитного b полей. То, что величины F_ik образуют 4-тензор, следует из закона преобразования электромагнитного поля (2.5) и определения тензора.

Антисимметричный тензор поля F_ik можно представить в виде:

, (2.11)

где 4-вектор A_i имеет вид {А, i}, А – вектор-потенциал магнитного поля,  – электростатический потенциал. Сравнивая выражение (2.11) с определением (2.10), получим

. (2.12)

Важность 4-векторов и 4-тензоров для современной физики заключается в том, что все физические величины могут быть объединены в такие совокупности, которые являются либо 4-векторами, либо 4-тензорами, либо 4-спинорами, квадратичные комбинации которых образуют 4-векторы. При этом иных математических объектов, связанных с преобразованием Лоренца, не существует. Так, например, импульс р = и энергия  = частицы с массой покоя m образуют 4-ве­к­тор . Установив, 4-вектором или 4-тензором является та или иная величина, мы, тем самым задаем закон ее преобразования в инерциальных системах отсчета.

Физический закон, связывающий 4-х мерные величины, называется ковариантным, если он инвариантен относительно преобразования Лоренца. Уравнения Максвелла (1.1) и (1.4) могут быть записаны в ковариантной форме через тензор электромагнитного поля в виде

. (2.13)

Левая часть уравнения (2.13) представляет собой 4-тензор третьего ранга и его обращение в нуль не зависит от выбора системы отсчета. Аналогично ковариа­н­т­ная форма записи уравнений (1.2) и (1.3) имеет вид:

. (2.14)