1.4. Обобщенная проницаемость

Разделение средней плотности тока связанных зарядов на токи поляризации и токи намагниченности, как это сделано в формуле (1.18), является формальным. Физически току поляризации соответствует колебание связанных зарядов около положения равновесия под действием переменного электрического поля, а току намагничения – движение связанных зарядов по замкнутым траекториям даже в отсутствии электрического поля. Однако в переменном поле траекторию движения связанных зарядов можно считать замкнутой лишь приближенно, когда путь, проходимый частицами за период изменения поля много больше радиуса их траектории. В быстропеременных полях это условие не выполняется, и отличить ток намагничения от тока поляризации невозможно.

В такой ситуации удобнее ввести вектор обобщенной поляризации P, производная от которого равняется средней плотности микроскопического тока:

.

Из формулы (1.19) следует, что

. (1.41)

Аналогично вводится вектор D обобщенной электрической индукции:

D(r, t) = E(r, t) + 4P (r, t) = E(r, t), (1.42)

где – линейный оператор обобщенной проницаемости.

С учетом введенных обозначений уравнения (1.30) и (1.31) принимают вид:

, (1.43)

. (1.44)

Совместно с уравнениями (1.28) и (1.29) уравнения (1.43) и (1.44) образуют систему уравнений Максвелла, описывающую электромагнитное поле в веществе с помощью трех векторов Е, В и D, а не четырех, как система (1.28) – (1.31). Свойства среды при этом описываются одним материальным уравнением (1.42) с помощью одной обобщенной проницаемости .

Нетрудно показать, что для вектора обобщенной электрической индукции D справедливо граничное условие (1.35): D_2n – D_1n = 4ps. Граничное же условие (1.33) в случае ограниченности производной по времени напряженности электрического поля Е принимает вид

[n´(В₁ – В₂)] = 4pi/c, (1.45)

где i – полная плотность поверхностного тока.

1.5. Энергия электромагнитного поля

Одним из важнейших следствий уравнений макроскопической электродинамики является закон, связывающий плотность энергии и плотность потока энергии электромагнитного поля в макроскопических телах. Для простоты ограничимся случаем непироэлектрического и неферромагнитного материала, так что в уравнениях (1.37) D₀ = 0 и В₀ = 0. Умножим обе части уравнения (1.31) скалярно на Е и вычтем из полученного выражения уравнение (1.28), скалярно умноженное на Н. Учитывая, что тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости уравнениях (1.37) симметричные и для медленно меняющихся полей постоянные, получим:

.

Воспользовавшись тождеством div[ab] = arotb – brota, преобразуем это уравнение к виду:

w/t + divS = –(j + j_e)E, (1.46)

где с учетом соотношений (1.37) обозначено

, (1.47)

. (1.48)

В случае равенства нулю правой части соотношение (1.46) имеет вид закона сохранения некоторой физической величины, причем w имеет вид плотности этой величины, а S – плотности потока этой величины.

Энергия электромагнитного поля должна являться термодинамическим по­тен­циалом, то есть быть функцией состояния системы и определяться только текущими значениями макроскопический полей независимо от предыстории. Кроме того, энергия поля должна быть разностью внутренней энергии среды при на­личии поля и энергии в отсутствии поля при тех же значениях плотности и энтропии, а изменение энергии поля в обратимых процессах должно равняться работе внешних сил.

В курсе "Электричество и магнетизм" получены формулы плотности энергии электрического и магнитного полей. Величина w, определенная соотношением (1.47), является суммой плотностей энергии электрического и магнитного полей, то есть плотностью энергии электромагнитного поля. Выражение (j + j_e)E в правой части уравнения (1.46) представляет собой работу, совершаемую в единицу времени силами электромагнитного поля над зарядами в единице объема. Соответственно вектор S, определенный соотношением (1.48) и называемый обычно вектором Пойнтинга, является плотностью потока энергии электромагнитного поля, а само уравнение (1.46) называется теоремой Пойнтинга.

Отметим, что при выводе теоремы Пойнтинга (1.46) использовалось предположение о постоянстве диэлектрической и магнитной проницаемостей среды (1.37), справедливое лишь для медленно меняющихся полей и в линейном при­б­ли­жении. В высокочастотном случае и для нелинейных сред выражение для эне­р­гии электромагнитного поля и потока энергии более сложное.