1.3. Материальные уравнения

Система уравнений Максвелла (1.28) – (1.31), даже дополненная граничными условиями (1.32) – (1.35) не является замкнутой. Ее нужно дополнить еще и материальными уравнениями, связывающими между собой величины H, D, j c B и Е. При этом удобно установить связь напряженностей поля с векторами Р и М, так как эти величины имеют более наглядный физический смысл. Для решения этой задачи в случае слабых (в сравнении с внутриатомными) макроскопических полей можно воспользоваться квантовомеханической теорией возмущений. В рамках этой теории средние значения физических величин в первом приближении будут линейными функциями величины возмущения:

P_i = P_0i + _ikE_k, M_i = M_0i + _ikH_k, i, k = x, y, z, (1.36)

где _ik и _ik – тензоры диэлектрической и магнитной восприимчивости.

Здесь и далее по повторяющимся тензорным индексам подразумевается суммирование по всему диапазону принимаемых значений (правило Эйнштейна). Физически более последовательно было бы записать в формуле (1.36) выражение для М в виде линейной функции В. Однако, в рассматриваемом приближении, как будет показано ниже, В и Н линейно связаны друг с другом, поэтому обе формы записи математически эквивалентны. Наконец, формально можно вклю­чить в выражения (1.36) слагаемые, описывающие линейную зависимость по­ляризации от магнитного поля, а намагниченности от электрического. Наличие таких слагаемых приводило бы к ряду явлений, которые до сих пор, однако, не обнаружены.

Подставляя в уравнение (1.36) формулы (1.24) и (1.25), получим:

D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)

B_i = B_0i + _ikH_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.38)

D₀ = 4P₀, B₀ = 4M₀, (1.39)

где _ik и, _ik – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости вещества.

В теории твердого тела показывается, что в случае слабых полей скорость установившегося движения носителей заряда, а следовательно, и плотность наведенного (дрейфового) тока пропорциональны напряженности Е электрического поля:

j_i = _ikE_k, (1.40)

где _ik – тензор проводимости. Соотношение (1.40) часто называют законом Ома в дифференциальной форме. Заметим, что ток в веществе может возникать не только под действием электрического поля, но и за счет других причин, например градиента температур или концентрации (в полупроводниках). По принятой в макроскопической электродинамике классификации такие токи являются сторон­ними, их возникновение описывается сторонней силой f_e в правой части ура­в­нения (1.8).

Соотношения (1.37) и (1.40) являются материальными уравнениями (уравнениями связи) сплошной среды, они устанавливают необходимую связь различных величин, характеризующих макроскопическое электромагнитное поле. Эти связи содержат два вектора и три тензора. В дальнейшем будет показано, что эти тензоры являются симметричными. В частном случае изотропных сред они принимают вид _ik = _ik, _ik = _ik, _ik = _ik. Скалярные величины ,  и  называются диэлектрической проницаемостью, магнитной проницаемостью и проводимостью вещества.

Величины Р₀ и М₀ в уравнении (1.39) представляют собой плотности дипольных электрического и магнитного моментов вещества при отсутствии вне­ш­них полей. Их называют спонтанными электрическим и магнитным моментами со­ответственно. Вещества, для которых Р₀  0, называют пироэлектриками. Для большинства веществ Р₀ = 0. Аналогично, для большинства веществ, за исключением ферромагнетиков, М₀ = 0. Все величины Р₀, М₀, _ik , _ik и _ik для слабых постоянных или медленно меняющихся полей зависят только от свойств вещества и его термодинамического состояния. При быстром изменении полей величины _ik , _ik и _ik начинают зависеть от частоты поля (дисперсия).