7.4. Электромагнитные флуктуации

Рассмотрим вновь уравнение (1.8), описывающее классическую динамику зарядов в среде. Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой полевой член, описывающий в общем случае внешнее детерминированное воздействие на систему. Детерминированность применительно к данному случаю оз­­начает, что воздействие производится одинаково и закономерно на все заряды сис­темы. Второе слагаемое, обозначенное как сторонняя неэлектромагнитная сила f_e, описывает взаимодействие выделенного заряда со средой. Это взаимодействие может быть, в свою очередь, разделено на три части: силу вязкого трения, пропорциональную скорости заряда, упругую, или возвращающую, силу, про­порциональную смещению заряда от положения равновесия, и случайную си­лу, описывающую броуновское движение зарядов.

Хаотическое движение носителей заряда в отсутствие регулярного внешнего воздействия, порождающее электромагнитные флуктуации, является универсальным свойством сложных систем, вытекающим из второго начала термодинамики. Описание этих флуктуаций с помощью фиктивных случайных сил, принадлежащее Ланжевену, является одним из возможных и в некотором смысле подобно введению инерциальных сил (центробежной и кориолисовой) в механике. В такой трактовке уравнение (1.8) в линейном приближении принимает вид уравнения Ланжевена:

. (7.34)

Функция F(t) в правой части уравнения (7.34) описывает детерминированное (регулярное) воздействие на среду, а функция f(t) – случайную силу, причем . Линеаризация уравнения (7.34) подразумевает независимость сил в правой части от координат и скоростей зарядов. Отметим, что в уравнении (1.8) такая зависимость учтена. Общим свойством линейных систем является принцип суперпозиции, то есть, реакция системы на суммарное воздействие сил F(t) и f(t) равна сумме реакций системы на эти силы по отдельности. В свою очередь реакция системы на силу F(t), F(t < 0) = 0 может быть представлена в виде интеграла Дю­а­меля

. (7.35)

Здесь

– (7.36)

импульсная характеристика (функция Грина) системы,

­– (7.37)

корни характеристического уравнения. Если в соотношении (7.36) доопределить h(t < 0) = 0, то уравнение (7.35) может быть переписано в виде

. (7.38)

Реакция системы на случайную силу f(t) также может быть записана в виде (7.38), причем из условия следует , соответственно . Фурье-образ импульсной характеристики системы является ее частотной характеристикой

. (7.39)

Частотная характеристика системы, которую называют также обобщенной восприимчивостью или запаздывающей функцией линейного отклика, является эрмитово сопряженной, то есть H*(–) = H(). В свою очередь,

. (7.40)

Из известной теоремы о свертке следует, что , где F() и r() – Фурье-образы вида (7.39) внешней силы и вектора смещения. Из формул (7.36), (7.37) и (7.39) следует, что

, (7.41)

где  = m/ – характерное время релаксации системы, – собственная (резонансная) частота системы. Соответственно,

, (7.42)

. (7.43)

Функция Н(z), определенная формулой (7.41), является аналитической в верхней комплексной полуплоскости Im(z) > 0. Повторяя рассуждения, приведенные в п. 3.2, можно показать, что ее действительная и мнимая части удовлетворяют соотношениям Крамерса – Кронига вида (3.23):

, . (7.44)

Как показано в п. 3.4, мнимая часть обобщенной восприимчивости определяет мощность, которая поглощается (диссипирует) системой. Действительно, пусть F(t) = F₀cos(t) = F₀[exp(it) + exp(–it)]/2. Тогда для мощности этой силы с учетом формулы (7.38) получаем

(7.45)

Для газа свободных электронов (плазмы)  = 0, соответственно и ₀ = 0. Тогда из формулы (7.43) следует, что . Полагая в формуле (7.45)

F = eE,  = 1/, получим на высоких частотах  >>  результат, совпадающий с формулой (6.6).

Рассмотрим теперь среду, находящуюся в термодинамическом равновесии при температуре Т, то есть F(t) = 0. В состоянии равновесия в силу теоремы о равнораспределении (эргодическая гипотеза) на каждую степень свободы системы приходится средняя энергия kT/2. Таким образом, . С другой стороны, входящая в правую часть уравнения (7.34) ланжевеновская сила f(t) обусловлена столкновениями носителей заряда, которые в масштабе времени  являются мгновенными. Это значит, что при усреднении по макроскопическому времени случайную ланжевеновскую силу можно считать дельта-кор­ре­ли­ро­ван­ным процессом, то есть положить .

Случайные процессы, функция автокорреляции которых зависит только от разности моментов времени, называется стационарными. Рассмотрим спект­ра­ль­ную интенсивность ланжевеновской силы, определен­ную как Фурье-образ ее фун­кции автокорреляции

. (7.46)

Случайный процесс, спектральная интенсивность которого постоянна, называется белым шумом. Таким образом, можно рассматривать как реакцию линейной системы (7.34) на белый шум.

Аналогично соотношению (7.46) можно определить и спектральную интенсивность X() стационарных электромагнитных флуктуаций x_f:

. (7.47)

В курсе статистической радиофизики доказывается, что спектральная интенсивность X() случайного процесса на выходе линейной системы с частотной характеристикой Н() связана со спектральной интенсивностью G()случайного процесса на входе линейной системы соотношением

X() = |Н()|²G(). (7.48)

С другой стороны, средний квадрат (мощность) флуктуаций связан с их спектральной интенсивностью теоремой Парсеваля:

. (7.50)

Из формул (7.46), (7.48) (7.50) и условия равнораспределения получаем

. (7.51)

В свою очередь, из формул (7.46), (7.48), (7.51) с учетом соотношений (7.41) и (7.43) следует формула Келлена – Вельтона:

, (7.52)

связывающая флуктуационные свойства системы (спектральную интенсивность ее флуктуаций) с ее диссипативными свойствами (мнимой частью обобщенной вос­приимчивости). Соотношение (7.52) часто называется флуктуационно-дис­си­па­ционной теоремой.

Флуктуационно-диссипационная теорема (7.52) доказана для модели Друде – Лоренца, то есть системы, состоящей из дискретных зарядов с урав­нением движения вида (7.34). Формула (4.42) является частным случаем флуктуационно-дис­си­па­ционной теоремы. Другой частный случай – формула Найквиста для тепловых шумов, которая выводится в курсе "Статистическая радиофизика". Общее доказательство этой теоремы для произвольных систем, не обязательно электромагнитных, дается в курсе квантовой статистики.