1.2. Граничные условия
При микроскопическом подходе такого понятия, как граница раздела, не существует, оно возникает при рассмотрении вещества как сплошной среды. Микроскопическая граница раздела представляет собой некоторую область, в которой свойства вещества резко меняются. Для конденсированных сред толщина переходного слоя порядка атомных размеров. При макроскопическом описании граница раздела считается геометрической поверхностью, то есть предполагается, что при переходе через некоторую поверхность физические свойства вещества меняются скачком.
Формально
переход к резкой границе совершается
устремлением к нулю толщины переходного
слоя. Если при этом в переходном слое
был конечный заряд, то в результате
такого перехода он будет сосредоточен
на поверхности раздела. Плотность
поверхностного заряда
связана с величиной q
заряда переходного слоя соотношением
,
ds – элемент поверхности
раздела S. Аналогично
вводится плотность поверхностного тока
i, направление которого
совпадает с направлением объемного
тока j, протекающего
в поверхностном слое.
При переходе к геометрической поверхности раздела величины Р и М, характеризующие свойства вещества, станут разрывными функциями. Поэтому удобно решать систему уравнений для нахождения макроскопических электромагнитных полей отдельно для каждого из участков пространства, занятого одним веществом. На границах раздела сред нужно производить сшивание решений, используя соответствующие граничные условия. Совокупность этих граничных условий вытекает непосредственно из системы уравнений Максвелла.
Проинтегрируем, например, уравнение (1.28) по поверхности бесконечно малого прямоугольника, расположенного в переходном слое так, что его высота есть толщина переходного слоя, а основание длиной l параллельно возникающей при 0 границе раздела. Поскольку размеры прямоугольника малы в сравнении с расстояниями, на которых изменяются макроскопические поля, при вычислении интегралов можно воспользоваться теоремой о среднем. С учетом теоремы Стокса, устремляя высоту прямоугольника к нулю, то есть, переходя к резкой границе, получим:
.
Здесь Bn1 – проекция вектора магнитной индукции на границе раздела на нормаль n1 к поверхности прямоугольника, Е1 и Е2 – проекции векторе Е в первой и второй средах соответственно на направление, касательное к границе раздела. В силу произвольной ориентации вектора l, касательного границе раздела, получим:
Е1 = Е2. (1.32)
Аналогично, интегрируя уравнение (1.31) по той же области, получаем:
,
или (H1 – H2) = 4in1/c, где = l/l – единичный вектор, касательный к границе раздела. Это равенство можно записать в векторном виде, не зависящем явно от выбора направления касательной , вводя единичный вектор нормали к поверхности раздела n, направленный из первой среды во вторую:
[n(H1 – H2)] = 4i/c. (1.33)
Проинтегрируем теперь уравнение (1.29) по объему V бесконечно малого цилиндра, расположенного в переходном слое так, что его высота есть толщина переходного слоя, а основание площадью S параллельно возникающей при
0 границе раздела. Используя теорему о среднем и теорему Гаусса – Остроградского и переходя к пределу 0, получим:
,
где Bn – проекция вектора В на нормаль n к поверхности раздела. Или:
B1n = B2n. (1.34)
Проинтегрировав по этому же цилиндру уравнение (1.30), получаем:
.
То есть,
D2n – D1n = 4. (1.35)
Соотношения (1.32) – (1.35) должны выполняться в любой точке границы раздела сред и представляют собой граничные условия, с помощью которых должно производиться сшивание решений системы уравнений Максвелла, получаемых в соприкасающихся между собой различных средах. Отметим, что поверхностная плотность заряда и плотность поверхностного тока i в соотношениях (1.33) и (1.34) соответственно учитывают как наведенные, так и сторонние заряды.