7.3. Аномальный скин-эффект

Как следует из формулы (7.19), глубина скин-слоя падает с ростом частоты и проводимости среды. Проводимость же обычно пропорциональна длине свободного пробега носителей заряда. Поэтому для чистых металлов на достаточно высоких частотах или при низких температурах может оказаться, что  < l. В этом случае электроны движутся в поле, которое уже нельзя считать однородным, и необходимо учитывать пространственную дисперсию. Временная же дис­персия при  < 1 еще несущественна. Скин-эффект в таких условиях называется аномальным скин-эффектом.

В случае аномального скин-эффекта связь между плотностью наведенного тока и напряженностью электрического поля перестает быть локальной вида (1.40). Чтобы найти эту связь, запишем линеаризованное кинетическое уравнение вида (6.11) для функции распределения электронов в металле

,

где f – обусловленное проникающим в металл полем отклонение функции распределения от равновесной фермиевской функции f₀. Если волна падает из вакуума на металл в направлении оси z, нормальной к поверхности и направленной вглубь металла, то Фурье-образ этого уравнения принимает вид

. (7.23)

Уравнение (7.23), в котором принято, что электрическое поле направлено вдоль оси х, удобно переписать в виде

. (7.24)

Решение неоднородного уравнения (7.24) можно искать методом вариации постоянной в виде f = C(z)exp(–Az). Подстановка в уравнение (7.24) дает, что решение, удовлетворяющее граничному условию f(z  , v_z < 0) = 0, имеет вид

. (7.25)

Условие v_z < 0 в формуле (7.25) означает, что речь идет о функции распределения электронов, движущихся по направлению к поверхности. Эта функция определяется значением электрического поля во всем пространстве от z до .

Вид функции f(z, v_z > 0), описывающей удаляющиеся от границы электроны, определяется характером рассеяния электронов на границе. Существуют два предельных случая – зеркальное и диффузное рассеяние. На практике реализуется некоторая промежуточная ситуация. Но даже в самом простом случае зеркального отражения электронов от поверхности уже проявляются все характерные особенности аномального скин-эффекта.

При зеркальном рассеянии электронов с учетом формулы (7.25) получаем:

.

Здесь функция f⁽⁺⁾ относится к электронам, удаляющимся от поверхности, а функция f^(–) относится к электронам, приближающимся к ней. Интеграл в формуле (7.26) зависит только от ,  и v_z, поэтому общее решение уравнения (7.24) по аналогии с формулой (7.25) для удаляющихся от поверхности электронов, должно иметь вид:

. (7.26)

Выражения (7.25) и (7.26) для функции распределения позволяют с помощью формулы вида (6.13) найти плотность наведенного тока j(z). Вводя в импульсном пространстве полярные координаты (v, , ), выбрав полярную ось вдоль оси х, то есть вдоль вектора Е, и выполняя интегрирование, получим

. (7.27)

Здесь l = v – длина свободного пробега электронов,

(7.28)

ядро интегральной связи между напряженностью электрического поля в точке с z-координатой, равной u, и плотностью тока в произвольной точке z.

Интегральный характер формулы (7.27) означает пространственную дисперсию. Будем рассматривать немагнитный, то есть  = 1, В = Н, металл без связанных зарядов, в котором  = 1, D = E. Возьмем ротор от уравнения (1.28) и с учетом уравнений (1.31) и (7.12) получим

c²E – ²E/t² = 4cj/t.

Подставляя в Фурье-образ этого уравнения соотношение (7.27), получим в одномерном случае основное уравнение аномального скин-эффекта:

, (7.29)

определяющее поле в среде.

Для решения интегрально-дифференциального уравнения (7.29) сделаем во втором интеграле в правой части замену переменных u  –u и продолжим формально решение E(z) в область z < 0 по правилу E(–z) = E(z). Тогда уравнение (7.29) примет вид

. (7.30)

Уравнение (7.30) имеет разностное ядро и его можно решить с помощью преобразования Фурье. Найдем Фурье-образ уравнения (7.30). Для этого умножим его на exp(–ikz) и проинтегрируем по z. В левой части первое слагаемое следует дважды проинтегрировать по частям и учесть, что для четной по построению функции E(z) получаем Е(–0) = –Е(+0). В результате получим

, (7.31)

где

.

Решение алгебраического уравнения (7.31) имеет вид

,

ему соответствует пространственное распределение поля

. (7.32)

Функция E(z) в формуле (7.32) имеет физический смысл при z > 0, множитель Е(+0) определяется интенсивностью и длиной волны, падающей на поверхность металла.

Оценка интеграла в формуле (7.32) дает, что глубина проникновения электромагнитного поля в металл при аномальном скин-эффекте имеет порядок

. (7.33)

Здесь E_F – энергия Ферми электронов в металле. Нетрудно видеть, что соотношение (7.33) описывает убывание глубины скин-слоя при аномальном скин-эф­фек­те как ^–1/3, то есть, медленнее, чем формула (7.19) для нормального скин-эф­фекта. Кроме того, функция E(z) вида (7.32) убывает с ростом z не по экспоненциальному закону (7.18), характерному для нормального скин-эффекта.