7. Электродинамика неоднородных и нелинейных сред

Особенности электродинамики неоднородных и нелинейных сред рассмот­рим на примере распространения электромагнитных волн в таких средах.

7.1. Поверхностные волны

Возьмем ротор от уравнения (1.28) и подставим в него уравнение (1.44) с учетом материального уравнения (1.42). Для среды без сторонних зарядов и токов получим

.

Пусть среда является неоднородной, но изотропной и немагнитной ( = 1). Для гармонической волны в такой среде без пространственной дисперсии получаем:

. (7.1)

Можно также получить уравнение относительно магнитного поля Н = В:

. (7.2)

Важной особенностью неоднородных сред являются новые решения уравнений (7.1) и (7.2), которые не существуют в пространственно-од­но­род­ных средах. Наиболее простой вид такие новые моды электромагнитных волн имеют в предельном случае резкой границы раздела двух сред. В этом случае появляется новая поверхностная волна, локализованная вблизи области резкой неоднородности среды. Амплитуда поверхностной волны убывает по мере удаления от этой области. Существование поверхностных волн известно в гидродинамике. Их скорость распространения и другие характеристики резко отличаются от характеристик объемных, например звуковых, волн.

Рассмотрим плоскую резкую границу раздела немагнитной среды с диэ­лек­трической проницаемостью и вакуума. Пусть ось z направлена внутрь среды по нормали к границе раздела. Тогда поверхностная волна распространяется в плоскости ху. Будем искать такое решение уравнения (7.2) в виде плоской волны, когда вектор Н находится в плоскости границы раздела, и направим ось у вдоль направления Н. Тогда уравнение (7.2) принимает вид

, (7.3)

. (7.4)

Здесь индексами m и v соответственно обозначены магнитные поля в среде и в вакууме, q – волновое число, проекция волнового вектора на ось х. Решения уравнений (7.3) и (7.4) должны быть сшиты на поверхности раздела S с помощью граничных условий вида (1.32) – (1.35)

H_m_S = H_v_S, E_m_S = E_v_S, D_mn_S = D_vn_S. (7.5)

Решения уравнений (7.3) и (7.4), описывающие поверхностные волны, дол­ж­ны стремиться к нулю при z  , поэтому будем их искать в виде

H_m = H_m0exp(iqx – k_mz), H_v = H_v0exp(iqx + k_vz). (7.6)

Подставляя соотношения (7.6) в уравнения (7.3) и (7.4), получим:

, ,

откуда следует

. (7.7)

Из равенства тангенциальных компонент магнитного поля (7.5) следует, что H_m0 = H_v0 = H₀. Равенство тангенциальных компонент электрического поля означает, что . Из этого условия получается , или

. (7.8)

Уравнение (7.8) имеет решение лишь при . Разрешая его относительно q², получим в неявном виде связь между частотой поверхностных электромагнитных волн и их волновым числом, то есть закон дисперсии:

. (7.9)

Для поперечной проницаемости плазмы можно воспользоваться формулой (6.27) и получить

. (7.10)

Такие волны называются поверхностными плазменными колебаниями или поверхностными плазмонами. Из уравнения (7.10) следует, что верхняя частота поверхностных плазмонов равна .

Существование поверхностных волн означает, что энергия электромагнитного поля может передаваться в избранном направлении по поверхностям открытых волноводов, которые могут быть диэлектрическими. Поверхностная вол­на является поперечной Н-волной, или ТМ-волной. Легко показать, исходя из гра­ничных условий (7.5) и соотношения (7.7), что поперечная по электрическому полю поверхностная волна, то есть ТЕ-волна, существовать не может.