
- •3 В.К. Игнатьев. Электродинамика сплошных сред
- •Литература Основная:
- •Дополнительная:
- •1.Макроскопическая электродинамика
- •1.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла
- •1.2. Граничные условия
- •1.3. Материальные уравнения
- •1.4. Обобщенная проницаемость
- •1.5. Энергия электромагнитного поля
- •2. Электродинамика движущихся сред
- •2.1. Преобразования Лоренца
- •2.2. Тензор электромагнитного поля
- •2.3. Уравнения Минковского
- •2.4. Граничные условия
- •3. Электромагнитное поле в диспергирующей среде
- •3.1. Комплексная диэлектрическая проницаемость
- •3.2. Соотношения Крамерса – Кронига
- •3.3. Пространственная дисперсия
- •3.4. Диссипация энергия электромагнитного поля в среде
- •3.5. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде
- •4.Стационарное электрическое поле
- •4.1. Электростатика проводников
- •4.2. Термодинамика проводников
- •4.3. Электростатика диэлектриков
- •4.4. Термодинамика диэлектриков
- •4.5. Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики
- •4.6. Кинетические явления
- •5. Стационарное магнитное поле
- •5.1. Магнитостатика магнетиков
- •5.2. Термодинамика магнетиков
- •5.3. Кинетические явления в магнитном поле
- •5.4. Ферромагнетики
- •5.5. Сверхпроводники
- •6. Электродинамика плазмы
- •6.1. Взаимодействие свободных зарядов с электромагнитным полем
- •6.2. Дебаевское экранирование
- •6.3. Обобщенная проницаемость плазмы
- •6.4. Магнитогидродинамика плазмы
- •7. Электродинамика неоднородных и нелинейных сред
- •7.1. Поверхностные волны
- •7.2. Нормальный скин-эффект, поверхностный импеданс
- •7.3. Аномальный скин-эффект
- •7.4. Электромагнитные флуктуации
- •7.5. Нелинейная поляризация
- •Содержание
6.3. Обобщенная проницаемость плазмы
Формулу (6.16) для продольной диэлектрической проницаемости изотропной плазмы удобно записывать в инвариантном виде
.
(6.20)
Поперечная проницаемость плазмы, как следует из формулы (3.32) является коэффициентом пропорциональности между электрическим полем E, перпендикулярным волновому вектору k, и обобщенной индукцией D. Запишем в инвариантном виде связь (3.29) обобщенной индукции с электрическим полем, учитывая формулу (6.15):
.
Преобразование подынтегрального выражения в этом соотношении можно обосновать, записав интегралы в координатной форме и направив ось х вдоль вектора Е, а ось у вдоль вектора k. Сравнивая правую часть формулы с левой, непосредственно получаем
.
(6.21)
Рассчитаем продольную и поперечную проницаемости однородной стационарной плазмы, равновесная функция распределения которой имеет вид распределения Максвелла
.
(6.22)
Здесь kB
– постоянная Больцмана, Т –
температура электронного газа, n
– плотность электронов, m
– масса электрона. Учитывая, что E
= p2/(2m),
v = p/m,
подставим в формулы (6.20)
и (6.21) соотношение (6.22), направим ось х
вдоль вектора k и
обозначим
.
Выполняя интегрирование по py
и pz,
получим:
,
(6.23)
.
(6.24)
Здесь обозначено
– (6.25)
плазменная (ленгмюровская) частота электронов.
Проводя аналогичное интегрирование в формуле (6.18), получим:
.
(6.26)
В металлах дебаевский радиус экранирования порядка 10–7 см, в полупроводниках порядка 10–5 см, в термоядерной плазме 10–3 ... 10–4 см, в ионосфере 10–1 см, а в межпланетной плазме 103 см.
В предельном случае
длинноволновых колебаний знаменатель
подынтегрального выражения в формулах
(6.23) и (6.24) можно разложить по степеням
малого параметра
.
Для бесстолкновительной плазмы при
0 получим
.
(6.27)
Мнимая часть обобщенной продольной проницаемости плазмы (6.27) растет с ростом волнового вектора. Так как в изотропной среде именно мнимая часть обобщенной проницаемости обусловливает диссипацию энергии поля, можно сделать вывод, что с уменьшением длины волны будет увеличиваться затухание продольных колебаний поля.
6.4. Магнитогидродинамика плазмы
Помимо кинетического рассмотрения, использованного в предыдущих двух разделах, часто используется другой, более грубый, гидродинамический метод описания. В сложных задачах гидродинамический метод часто используется для оценочного рассмотрения и основан на том, что в уравнения Максвелла функция распределения непосредственно не входит. В эти уравнения входят плотность индуцированного заряда и плотность индуцированного тока, которые выражаются через интеграл вида от функции распределения (6.13). Иначе говоря, в уравнения Максвелла входят только среднее значение скорости частиц среды. В уравнения же механики, определяющие характер реакции среды на поле, скорость входит непосредственно.
Если детали фактического распределения частиц по скоростям мало сказываются на характере реакции среды на внешнее поле, возможно гидродинамическое описание движения среды, в которое с самого начала входит только средняя скорость. В гидродинамическом приближении свойства среды описываются пятью скалярными величинами: тремя компонентами средней скорости частиц среды и двумя термодинамическими величинами, описывающими внутреннее состояние среды в каждой точке. Такими величинами могут быть, например, плотность среды и давление р.
Если пренебречь трением между различными компонентами плазмы, уравнение движения зарядов каждого сорта можно записать в виде
dv/dt = –p + eE/m. (6.28)
Это уравнение следует дополнить уравнением непрерывности
/t + div (v) = 0. (6.29)
Внутреннее состояние плазмы описывается уравнением состояния, в качестве которого можно взять уравнение состояния идеального газа (Менделеева – Клайперона)
p = kBT/m. (6.30)
Если распространение волн в среде происходит адиабатически, то
p– = const, (6.31)
где = cP/cV.
Уравнения (6.28) – (6.30) содержат неизвестные v, р, T, и Е, поэтому совместно с ними должны решаться уравнения Максвелла, определяющие электрическое поле Е. Линеаризуем эти уравнения, полагая Т = Т0 + Т1, р = р0 + р1 и = 0 + 1. Пусть v0 = 0 и Е0 = 0, так что переменные Е и v – уже величины первого порядка. Будем считать равновесную систему пространственно-однородной, следовательно, p0 = T0 = 0 = 0. Тогда из адиабатического уравнения (6.31) получаем р1 = р01/0. Фурье-образ уравнения непрерывности принимает вид 1/0 = (kv)/, поэтому Фурье-образ адиабатического уравнения (6.31) может быть записан в виде р1 = р0(kv)/. Соответственно р1 = р0kv||/ = iр0kkv||/, где v|| – компонента скорости, параллельная волновому вектору k.
Представим теперь в уравнении (6.28) v = v|| + v, E = E|| + E и запишем Фурье-образы уравнений для продольной и поперечной компонент скорости и электрического поля, подставив в них полученное выражение для градиента давления р1:
.
Продольная и поперечная компоненты плотности тока при этом имеют вид
.
(6.32)
Формулы (6.28) – (6.32) написаны для одной из компонент плазмы. Поскольку ток обусловлен всеми ее компонентами, в формулах (6.32) следует подразумевать суммирование по всем компонентам. Из соотношений (6.32) непосредственно получаются выражения для продольной и поперечной проводимостей плазмы
,
(6.33)
где производится суммирование по всем компонентам плазмы. В соответствии с формулами (3.16) и (6.25) для продольной и поперечной обобщенных проницаемостей изотропной немагнитной плазмы получаем
,
(6.34)
где n0 = 0/m – равновесная концентрация компоненты плазмы.
Из сравнения формул
(6.34) и (6.27) видно, что поперечная
диэлектрическая проницаемость выглядит
так же, как и в случае простейшей модели,
в которой все частицы одного сорта
движутся с одинаковой скоростью. При
< pe
получаем
< 0, то есть поперечная
волна с частотой меньшей плазменной
частоты электронов распространяться
в плазме не может. Вкладом ионов в спектр
поперечных колебаний из-за их
инерционности можно пренебречь.
При описании продольных колебаний вкладом ионов, вообще говоря, пренебрегать нельзя из-за наличия второго слагаемого в знаменателе выражения для продольной обобщенной проницаемости. В этом случае возможны три типа продольных колебаний: высокочастотные колебания электронного газа, в которых ионы из-за своей инерциальности не принимают участия; ионно-звуковые колебания при малых значениях волнового вектора, когда электроны адиабатически следуют за ионами, и плазменные ионные колебания, в которых не принимают участия электроны.
Если в плазме имеется постоянное внешнее магнитное поле, то оно выделяет некоторое направление, и плазма является неизотропной. Кроме того, в правой части уравнения движения (6.28) добавляется сила Лоренца. Будем считать плазму электрически нейтральной и учтем силу трения Fc, обусловленную столкновениями частиц среды. Тогда уравнение движения (6.28) принимает вид уравнения Навье – Стокса
[v/t + (v ) v] = –p + [j B]/c + Fc. (6.35)
Уравнение движения (6.35) помимо уравнения непрерывности (6.29) и уравнений Максвелла
c rot E = –B/t, c rot B = 4j, div B = 0, (6.36)
в которых для низкочастотных колебаний опущен ток смещения и положено для немагнитной плазмы В = Н, необходимо дополнить материальным уравнением
j = (E + [v B]/c) (6.37)
Отметим, что в силу уравнений (2.7) комбинация E + [v B]/c есть электрическое поле в системе, движущейся вместе с плазмой. Именно в такой системе определен закон Ома (1.40).
Выразим из уравнения (6.37) электрическое поле E = j/ – [v B]/c и подставим это значение в первое из уравнений Максвелла (6.36), учтя при этом второе и третье уравнения:
B/t = rot [v B] + с2В/(4). (6.38)
Для неподвижной среды уравнение (6.38) принимает вид уравнения диффузии:
с2В – 4B/t = 0. (6.39)
Из структуры уравнения (6.39) можно определить время диффузии магнитного поля на характерное расстояние L, на котором существенно изменяется магнитное поле:
td = 4L2/с2. (6.40)
Другому предельному случаю отвечает движущаяся среда с очень высокой проводимостью. При уравнение (6.38) переходит в
B/t = rot [v B] = (B)v – (v)B – B div v + v div B
Последнее слагаемое в правой части этого уравнения равно нулю в силу третьего уравнения Максвелла (6.36), а третье слагаемое может быть преобразовано с учетом уравнения непрерывности (6.29):
.
Разделив это уравнение на и перегруппировав члены, получим
.
(6.41)
Уравнение (6.41) аналогично уравнению, описывающему скорость изменения линейного элемента жидкости, поэтому оно описывает магнитное поле "вмороженное" в вещество и перемещающееся вместе с ним.
Выражение для электромагнитной силы Fэ = [j B]/c с учетом материального уравнения (6.37) может быть преобразовано к виду
Fэ = [E B]/c + [[v B] B]/c2 = [E B]/c – vB2/c2,
где v – перпендикулярная относительно направления магнитного поля компонента скорости движения среды. Нетрудно видеть, что все электромагнитные силы перпендикулярны направлению магнитного поля, а сила, направленная против перпендикулярной относительно В компоненте скорости перемещения элементов среды играет роль силы вязкого трения. Сила магнитной вязкости
Fт = – vB2/c2 (6.42)
пропорциональна квадрату индукции магнитного поля и существенно сказывается на динамике хорошо проводящей плазмы.
В электромагнитной силе, входящей в правую часть уравнения Навье – Стокса (6.35), можно выделить еще одно важное слагаемое. Воспользовавшись вторым уравнением Максвелла (6.36), получим
Fэ = – [B rot B]/(4) = –(B2/(8)) + (B)B/(4).
Первое слагаемое в правой части этого соотношения может быть объединено со слагаемым –р в правой части уравнения (6.35). Это значит, что магнитное поле создает давление
рм = B2/(8), (6.43)
которое называется магнитным давлением, и которое, наряду с обычным гидростатическим давлением, может быть причиной течения плазмы.
Рассмотрим идеально проводящую плазму с нулевой вязкостью. В этом случае в правой части уравнения (6.35) отсутствует сила Fс, а в правой части уравнения (6.38) отсутствует второе слагаемое. К этим уравнениям необходимо еще добавить уравнение состояния. При колебательных процессах в жидкости давление р обычно связано с плотностью соотношением
p = s2, (6.44)
где s – скорость звука в среде.
Линеаризуем уравнения (6.35), (6.36) и (6.44) совместно с уравнением непрерывности (6.29) для малых отклонений от положения равновесия = 0 + 1,
р = р0 + р1, В = В0 + В1. Полагая, что v0 = 0, получим
.
Эту систему можно разрешить относительно скорости
2v/t2 – s2 grad div v + [va rot rot [v va]] = 0. (6.45)
Здесь
– альвеновская скорость.
Будем искать решение уравнения (6. 45) в виде плоской магнитогидродинамической волны v = va exp(ikr – it). Подстановка в уравнение (6.45) дает
.
(6.46)
Если волна распространяется перпендикулярно магнитному полю, то (kva) = 0 и уравнение (6.46) упрощается:
.
Поскольку направления векторов k и v должны совпадать, уравнение принимает вид дисперсионного уравнения
.
(6.47)
Как видно из дисперсионного уравнения (6.47), полученное решение описывает модифицированные за счет магнитного поля продольные звуковые волны, скорость которых растет с ростом поля.
Если волна распространяется вдоль магнитного поля и k || va, то уравнение (6.46) принимает вид
.
(6.48)
Здесь возможны два случая. Если v || va, то уравнение (6.48) описывает обыкновенную звуковую волну с постоянной скоростью s и законом дисперсии = sk. Если vva = 0, то уравнение (6.48) превращается в простое соотношение = vak, описывающее альвеновскую волну. Эта волна так же, как и звуковая имеет линейную дисперсию, но ее скорость пропорциональна магнитному полю. В пределе В0 = 0 фазовая скорость, а с нею и частота этой волны обращается в нуль.