6.2. Дебаевское экранирование

Рассмотрим потенциал неподвижного точечного заряда в изотропной плазме и запишем Фурье-образы уравнений (1.43) и (4.4):

ikD(k, ) = 4_e(k, ), (6.7)

E(k, ) = –ik(k, ). (6.8)

Уравнение (6.7) с учетом соотношения (3.32) можно преобразовать к виду

,

который совместно с уравнением (6.8) дает

. (6.9)

Если поле создано одним точечным зарядом, находящимся в точке r₀, то _e(r, t) = e(r₀), соответственно

.

Подставляя это соотношение в уравнение (6.9), получим

.

Проведем обратное преобразование Фурье вида (3.27), вернувшись к переменным r и t:

. (6.10)

Потенциал (6.10) не зависит от времени, поскольку заряд неподвижен. Если заряд находится не в плазме, а в вакууме, то должен получиться кулоновский потенциал, действительно,

.

Наличие же в знаменателе подынтегрального выражения зависящей от волнового вектора функции означает, что зависимость потенциала от координат будет отличаться от характерной для вакуума функции e/|r – r₀|. Это отличие целиком обусловлено пространственной дисперсией.

Проанализируем вид функции для однородной изотропной бесстолкновительной плазмы, состоящей из свободно передвигающихся заряженных частиц, когда длина свободного пробега много больше расстояния, на котором существенно меняется поле. Динамика плазмы как системы взаимодействующих частиц может быть описана функцией распределения f(p, r, t), равной плотности вероятности обнаружить в момент времени t частицу с импульсом p в окрестности точки r.

Функция распределения замкнутой системы удовлетворяет уравнению Лиувилля df/dt = 0. Если электроны испытывают рассеяние, например, при стол­к­новениях с ионами или нейтральными атомами, уравнение Лиувилля принимает вид кинетического уравнения Больцмана

(6.11)

Здесь  = 1/ – время релаксации системы, – частота столкновений, f₀ – равновесная, невозмущенная электромагнитным полем, функция распределения системы, к которой она релаксирует с постоянной времени  при выключении поля.

Обозначим в уравнении (6.11) f = f – f₀ – вызванное электрическим полем малое возмущение функции распределения. Пусть магнитное поле отсутствует. Тогда производная импульса электрона, то есть сила, действующая на него, определяется только электрическим полем . В рамках линейной электродинамики в уравнении (6.11) следует оставить только линейные по полю слагаемые, а слагаемые, содержащие произведение Еf, квадратичные по полю, должны быть отброшены. Тогда Фурье-образ уравнения (6.11) принимает вид

.

Решение этого уравнения есть

. (6.12)

Поскольку в однородной изотропной плазме в отсутствии электрического поля полный ток равен нулю, для плотности индуцированного тока с учетом фор­мулы (6.12) справедливо выражение

, (6.13)

то есть, тензор проводимости плазмы имеет вид

. (6.14)

Поскольку в плазме нет связанных зарядов и поляризации, для обобщенной проницаемости с учетом формулы (6.14) получаем

. (6.15)

Здесь учтено, что f₀/p_j = (f₀/E) E/p_j = v_jf₀/E, где E – энергия, являющаяся аргументом равновесной функции распределения (распределения Больцмана).

С другой стороны, умножая уравнение (3.31) на k_ik_j, получаем . Поэтому из уравнения (6.15) следует, что

. (6.16)

В случае бесстолкновительной плазмы, то есть для  = 0, что соответствует бесконечной проводимости по постоянному току, неопределенность, возникающую в формуле (6.16) при  = 0, раскроем по правилу Лопиталя:

.

Таким образом,

, (6.17)

где обозначено

­– (6.18)

дебаевский радиус экранирования.

Подставим теперь выражение (6.17) в формулу (6.10) и после несложных, но громоздких выкладок получим

. (6.19)

Из формулы (6.19) следует, что потенциал точечного заряда е в плазме не является ослабленным в некоторое число раз кулоновским потенциалом. Диспергирующая среда меняет сам вид функции (r). Вблизи от заряда, когда |r – r₀| < r_D, поле в плазме совпадает с полем в вакууме. При |r – r₀| > r_D поле экспоненциально падает. Соответственно, экспоненциально падает и взаимодействие выделенного заряда с частицами среды, удаленными от него больше, чем на радиус дебаевского экранирования.