6. Электродинамика плазмы

6.1. Взаимодействие свободных зарядов с электромагнитным полем

Плазма как полностью ионизированный газ может рассматриваться в первом приближении как система свободных зарядов (электронов и ионов), взаимодействующих с электромагнитным полем. Взаимодействие зарядов между собой можно рассматривать как упругие столкновения. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в пренебрежении релятивистскими эффектами описывается классическим уравнением (1.8), где столкновения учтены сторонней силой f_e. Для свободных электронов это уравнение принимает вид:

. (6.1)

Рассмотрим движение свободного электрона в поле стоячей волны. Пусть E(r, t) = E(r)cos(t), B(r, t) = B(r)cos(t). Будем решать уравнение (6.1) методом последовательных приближений по малому параметру v/c. В нулевом приближе­нии пренебрегаем силой Лоренца и зависимостью электрического поля от координаты. Тогда уравнение (6.1) принимает вид , соответственно

, , (6.2)

где v₀ – начальная скорость электрона. Электрон колеблется в поле, и его средняя кинетическая энергия колебательного движения равна

. (6.3)

Смещение электрона за период поля r, отнесенное к длине волны  = с/, при этом порядка v/c, поэтому в нерелятивистских задачах поле, действующее на электрон, мало отличается от гармонического.

Для того чтобы учесть члены первого порядка по v/c, разложим электрическое поле по степеням r и ограничимся линейным слагаемым:

.

Подставляя это выражение в уравнение (6.1) и учитывая, что в силу уравнения Максвелла (1.28) в гармонической волне rot E = –B/c, получим после усреднения по периоду поля:

.

Из этого уравнения видно, что на электроны в среднем действует сила, которая выталкивает их из области сильного поля и приводит к группировке их в области узлов электрического поля.

Рассмотрим теперь движение электрона в поле бегущей вдоль оси z плоской волны E(r, t) = Ecos(t – kz)e_x, B(r, t) = Ecos(t – kz)e_y. Здесь e_x, e_y – единичные векторы поляризации полей вдоль осей х и у и учтено, что в плоской бегущей волне в гауссовой системе единиц амплитуды электрического и магнитного полей равны. Уравнения (6.1) движения электрона в координатной форме теперь примет вид:

.

В нулевом приближении ускорение электрона направлено вдоль оси х, он совершает колебания, поляризованные вдоль оси х, и излучает с частотой  и интенсивностью

,

где d = er – классический дипольный момент электрона. Такое излучение с частотой падающей волны представляет собой классическое томпсоновское рассеяние света на свободном электроне, его сечение равно

. (6.4)

Здесь учтено, что поток энергии в бегущей волне I = cE²/(8), r₀ – классический радиус электрона.

В первом порядке по v/c следует учесть силу Лоренца в уравнении движения по оси z:

. (6.5)

Это уравнение показывает, что в первом приближении по v/c электрон колеблется вдоль оси z с удвоенной частотой, описывая фигуру Лиссажу – восьмерку в плоскости xz. Эта восьмерка сильно вытянута вдоль оси х, так как отношение амплитуд колебаний по осям z и х порядка v/c. Сечение рассеяния для второй гармоники составляет (2) = ()E_k/(mc²) << ().

В следующих приближениях по v/c появляются и следующие гармоники, но вычислять их надо на основе релятивистских уравнений движения, так как они порядка v²/c² и выше. Для круговой поляризации поля все нелинейные эффекты исчезают, так как скорость электрона все время параллельна направлению магнитного поля и сила Лоренца равна нулю.

Для свободного электрона, взаимодействующего с электромагнитным полем, классическая теория, включая и формулу Томпсона (6.4), применима при условии ħ << mc², которое выполняется вплоть до гамма-излучения. Для коротковолнового излучения с длиной волны порядка ħ/mc  10^­–10 см (комптоновская длина волны) рассеяние происходит с изменением частоты рассеянного света (эффект Комптона).

Свободный электрон может рассеивать электромагнитное поле (фотоны), но не может поглощать или испускать кванты света. Физически это связано с тем, что законы сохранения энергии и импульса E = E + ħ, p = p + ħk могут выполняться одновременно лишь при v > /k. Однако фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме /k = с всегда больше скорости электрона. Только при движении электрона в веществе со скоростью, превышающей фазовую скорость света, электрон может излучать и поглощать свет (эффект Вавилова – Черенкова).

При столкновении с другими частицами электрон может передать им часть импульса и законы сохранения для процесса с излучением или поглощением фотона могут выполняться (тормозное излучение). При наличии поля имеет место вынужденное, а не спонтанное тормозное излучение. Кроме того, происходит и обратный процесс – поглощение, вероятность которого связана с вероятностью прямого процесса. Суммарный результат этих процессов – поглощение электромагнитной энергии электронами.

В плазме электроны могут сталкиваться как с другими электронами, так и с ионами и нейтральными атомами. Однако соударения электронов между собой практически не дают вклада в поглощение, так как не приводят к изменению суммарного импульса электронов. Вместе с тем не меняется и полный ток в системе j, отличающийся от полного импульса лишь универсальным множителем e/m. Но тогда усредненная за период работа поля над системой равна нулю, что и означает отсутствие поглощения или излучения. Столкновения же электронов с ионами и нейтральными атомами (молекулами) из-за различия их масс приводят к изменению полного тока и являются основной причиной поглощения.

Рассмотрим простейшую модель, когда происходят упругие столкновения электронов с частицами, массы которых M много больше массы электрона m, за время  << 2/, то есть практически мгновенно. При таких столкновениях энергия электрона сохраняется, а импульс меняется на противоположный, то есть происходит рассеяние назад. Скорость электрона в переменном высокочастотном поле меняется по закону (6.2), а для его средней за период поля энергии получаем с учетом соотношения (6.3):

,

где p₀ = mv₀.

Пусть в момент t = t₀ происходит мгновенное упругое столкновение с изменением импульса на обратный, то есть p(t₀ + 0) = p(t₀ – 0). Тогда

.

Средняя за период энергия электрона после столкновения равна

,

а изменение энергии при столкновении составит

.

Изменение энергии зависит от фазы поля в момент времени t₀ и может быть как положительным, так и отрицательным. Однако средняя передача энергии при усреднении по фазам поля t₀ всегда положительна

.

Если упругие столкновения с рассеянием назад происходят с частотой (р), зависящей, вообще говоря, от импульса электрона, причем  <<  и можно рассматривать усредненный по периоду эффект каждого соударения, то для мощности поглощения получаем

. (6.6)