5.5. Сверхпроводники

Сверхпроводники являются примером того, как радикально могут измениться материальные уравнения электродинамики вследствие взаимодействия между частицами среды. Основные электродинамические свойства сверхпрово­д­ни­ка заключаются в том, что его проводимость на постоянном токе бесконечна, а вектор магнитной индукции В в объеме сверхпроводника обращается в нуль (эффект Мейсснера – Оксенфельда). Отметим, что для идеального проводника из условия Е = 0 и уравнения Максвелла (1.28) следует, что В = const. То, что для сверхпроводника магнитная индукция не просто константа, а константа, равная нулю, означает, что при переходе в сверхпроводящее состояние магнитное поле выталкивается из сверхпроводника, то есть, сверхпроводник принципиально отличается от идеального проводника.

Рассмотрим движение электронов в сверхпроводнике как поток сверхтекучей жидкости, то есть, без трения только под действием электромагнитного поля. Второй закон Ньютона для такого электрона совместно с уравнением (1.8) принимает вид

.

Если следить не за фиксированными электронами, а полем их скоростей в фиксированной точке пространства, то, учитывая, что

dv/dt = v/t + (v grad) v = v/t + grad (v²/2) – [v  rot v],

уравнению движения электронов можно придать вид уравнения Эйлера:

.

Учитывая, что j = env, где n – концентрация электронов, перепишем уравнение движения электронной жидкости в сверхпроводнике в виде

, (5.31)

где обозначено

, (5.32)

. (5.33)

В соотношении (5.32) учтено, что сверхпроводник является парамагнитным металлом и можно принять В = Н. Возьмем ротор от обеих частей уравнения (5.31) и с учетом уравнения Максвелла (1.28) получим, что:

enw/t = rot [j  w]. (5.34)

Найдем теперь полную внутреннюю энергию сверхпроводника как сумму энергии магнитного поля и кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

. (5.35)

В стационарном равновесном состоянии распределение магнитного поля В дол­жно минимизировать внутреннюю сверхпроводника. Для определения этого рас­п­ределения приравняем нулю вариацию W функционала (5.34) при произвольной вариации поля В. На поверхности сверхпроводника значение поля задано граничными условиями, то есть В_S = 0, поэтому с учетом формулы (5.32) получаем:

В силу произвольности вариации поля В из равенства нулю вариации энергии следует, что в стационарном равновесном состоянии w = 0. Но из уравнения (5.34) следует, что если в какой-то момент времени w = 0, то и производная w/t в этот момент тоже обращается в нуль и сохраняется значение w = 0 во все последующие моменты времени. Поэтому даже в переменных полях уравнения (5.31) и (5.32) принимают вид:

, (5.36)

. (5.37)

Уравнения (5.36) и (5.37) называются, соответственно, первым и вторым уравнениями Лондонов. Обычно в правой части уравнения (5.36) пренебрегают вторым слагаемым, считая плотности тока достаточно малыми.

Уравнение (5.37), записанное в виде

, (5.38)

является материальным уравнением сверхпроводника. Для сверхпроводящего по­лупространства x > 0 его можно записать в виде ²d ²B/dx² = B. Затухающее на бесконечности в силу эффекта Мейсснера – Оксенфельда решение этого уравнения имеет вид B(x > 0) = B₀exp(–x/), то есть величина , определенная соотношением (5.33), описывает глубину проникновения постоянного магнитного поля в сверхпроводник и называется лондоновской глубиной проникновения.