5. Стационарное магнитное поле

Среды, магнитная проницаемость  которых отлична от единицы, называются магнетиками. В таких средах магнитное поле Н и магнитная индукция В не совпадают между собой. Связь между В и Н не обязательна линейная, в ферромагнетиках она нелинейная и даже неоднозначная. Магнитная восприимчивость магнетиков  = ( – 1)/4 может быть положительной или отрицательной величиной. Если  > 0, то такие вещества называют парамагнетиками (щелочные металлы, кислород). Парамагнетизм обусловлен ориентацией внешним полем собственных, существующих и в отсутствии внешнего магнитного поля магнитных моментов структурных элементов, из которых состоит вещество. Порядок величины молярной магнитной восприимчивости парамагнетиков  = 10^–3 ... 10^–6.

Вещества с отрицательной магнитной восприимчивостью называются диамагнетиками (инертные газы). Порядок величины молярной магнитной восприимчивости диамагнетиков   –10^–6. Диамагнетизм – универсальное явление, присущее всем телам без исключения, но непосредственно наблюдается лишь тогда, когда атомы или молекулы не имеют в отсутствии внешнего поля собственного магнитного момента, иначе он маскируется более сильным парамагнитным эффектом.

Среды, в которых макроскопический магнитный момент существует и в отсутствии внешнего поля, составляют третий класс магнетиков. Их типичным представителем являются ферромагнетики (железо, кобальт, никель, уран). Существуют также антиферромагнетики и другие магнитные структуры.

5.1. Магнитостатика магнетиков

Если и не рассматривать сверхпроводники, то стационарное магнитное по­ле не индуцирует ток проводимости в средах, поэтому уравнения (1.29) и (1.31) для магнетиков принимают вид:

div B = 0, (5.1)

rot H = 4j_e/c. (5.2)

Уравнение (5.1) тождественно удовлетворяется соотношением

B = rot A. (5.3)

Уравнения (5.1) и (5.2) следует дополнить материальным уравнением вида (1.37). Для линейной неферромагнитной среды В = Н или М = Н. Учитывая соотношение (5.3), уравнение (5.2) при этом можно записать в виде

. (5.4)

Если выбрать калибровку div A = 0, то для пространственно-однородного магнетика уравнение (5.4) упрощается

. (5.5)

Решение уравнения (5.5) имеет вид

, (5.6)

где интегрирование ведется по всей области пространства, в которой существуют сторонние токи. Соотношение (5.6), таким образом, позволяет найти векторный потенциал А по заданному распределению сторонних токов. Взяв ротор от выражения (5.6) с учетом соотношения (5.3) и материального уравнения (1.37), получим

. (5.7)

Из формулы (5.7) видно, что напряженность поля Н в пространственно-не­од­но­род­ном магнетике при заданном распределении сторонних токов j_e такая же, какой она была бы в отсутствии всякой среды.

Будем рассматривать распределение поля только в области вне проводников, достаточно тонких, так что направление тока в данной точке проводника совпадает с направлением dl – элемента длины проводника. Такую систему принято называть системой линейных токов. Тогда, выполняя в соотношениях (5.6) и (5.7) интегрирование по поперечному сечению проводников, получим

, (5.8)

, (5.9)

где I_i – полный ток, протекающий по i-му проводнику. Выражение (5.9) представляет собой закон Био – Савара.

Уравнения (5.4) – (5.9) получены для однородного магнетика. Формально пространственно-однородным может быть только неограниче­н­­ный магнетик. При наличии резкой границы раздела сред из соотношений (5.1) и (5.2) по аналогии с выводом соотношений (1.33) и (1.34) легко могут быть получены граничные условия

B_1n = B_2n, H_1 – H_2 = 4i_e/c, (5.10)

где i_e – поверхностная плотность сторонних токов.

Если решается уравнение (5.4), то при наличии резкой границы следует сформулировать граничное условие для векторного потенциала А. Особенности, которые могли бы возникнуть при наличии поверхностного тока, можно оценить, записав их вклад A_S в векторный потенциал А в виде

. (5.11)

Интегрирование здесь ведется по всей поверхности раздела.

Разобьем область интегрирования в соотношении (5.11) на две части. Одна из них будет находиться внутри окружности малого радиуса, описанной вокруг точки, в которой ищется A_S, а другая – вне этой окружности. Последняя область не может приводить к особенностям в подынтегральном выражении формулы (5.11). Вклад первой области можно оценить, воспользовавшись интегральной теоремой о среднем

,

где R – радиус выбранной окружности. При стремлении R к нулю значение |A_S|_R также стремится к нулю. Таким образом, все компоненты векторного потенциала оказываются непрерывной функцией координат и в том случае, когда имеется резкая граница раздела сред.

Рассмотрим систему линейных токов, сосредоточенных в ограниченной области, причем все пространство между проводниками заполнено однородным магнетиком с проницаемостью . при такой постановке задачи все линейные токи представляют собой замкнутые витки. Наряду с током I_i, важной ха­рак­те­рис­ти­кой такого витка является магнитный поток через контур витка

. (5.12)

Подставляя формулу (5.8) в уравнение (5.12), видим, что потоки и токи связаны между собой линейно

, (5.13)

где

– (5.14)

взаимная индуктивность i-го и j-го проводников (при i  j). Величина L_ii называется индуктивностью i-го проводника.

Коэффициенты L_ij зависят от геометрии системы: формы, размеров и взаимного расположения проводников. По аналогии с электростатической теоремой взаимности (4.13) и (4.14) можно доказать, что матрица взаимных индуктивностей симметричная:

L_ij = L_ji. (5.15).

Вводя матрицу (симметричную) , обратную к матрице L_ij, можно переписать формулу (5.13) в виде

. (5.16)