1.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла

Формальный переход к макроскопическому описанию электромагнитного поля можно осуществить путем усреднения положения атомов. Для того чтобы после усреднения тело представляло собой сплошную среду, размеры области, по которой производится усреднение, должны быть велики по сравнению с межатомными расстояниями. С другой стороны, эти размеры должны быть малы по сравнению с расстояниями, на которых меняется макроскопическое поле. Так возникает понятие физически бесконечно малого объема с размерами, удовлетворяющими указанным условиям. Переход от микроскопических к макроскопическим уравнениям путем усреднения уравнений электромагнитного поля в пустоте впервые был произведен Лоренцем в 1902 г.

Микроскопические электрическое e(r, t) и магнитное b(r, t) поля в среде с зарядами должны удовлетворять уравнениям Максвелла, дополненными уравнением непрерывности:

, (1.1)

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

Входящие в эти уравнения величины и являются мик­ро­с­ко­пи­чес­кими значениями плотности заряда и тока и связаны с зарядами отдельных микрочастиц среды соотношениями:

, (1.6)

. (1.7)

Здесь k – номер атома (молекулы или элементарной ячейки) в твердом теле, R_k – радиус-вектор центра инерции k-го атома, r_i(t) – радиус-вектор i-го заряда q_i,k, отсчитанный от центра инерции соответствующего атома, r – радиус-вектор точки наблюдения.

Наконец, динамика носителей заряда может быть в классическом приближении описана уравнениями Ньютона:

. (1.8)

В правую часть уравнения (1.8) помимо сил Кулона и Лоренца входит также сила f_e неэлектромагнитного происхождения. Такие силы могут быть связаны с гравитационным или ядерным взаимодействием, а также описывать столкновения частиц или квантовые переходы.

В принципе, система уравнений (1.1) – (1.8) полностью описывает микроскопическое электромагнитное поле. Однако столь детальное описание поля в средах обычно невозможно из-за невообразимо большого количества уравнений вида (1.8), поскольку такое уравнение нужно написать для каждой частицы вещества. При этом все микроскопические величины e, b, и v, входящие в уравнения (1.1) – (1.8), испытывают существенные изменения на расстояниях порядка атомных размеров. В большинстве случаев не требуется детального знания микрополей в веществе, интерес представляют макроскопические поля, усредненные по некоторым конечным областям пространства и по соответствующим промежуткам времени, что адекватно процедуре измерения поля макроскопическим (классическим) прибором, датчик которого производит указанное усреднение вследствие своих конечных размеров и инерционности.

Введем обозначения E = e – напряженность электрического поля в среде, В = b – магнитная индукция в среде. Угловыми скобками здесь обозначено усреднение по физически малому объему вещества: , где V(r) – физически малый объем с центром в точке r. Уравнения для введенных макроскопических (усредненных) полей получаются усреднением линейных микроскопических уравнений (1.1) – (1.5):

, (1.9)

, (1.10)

, (1.11)

, (1.12)

. (1.13)

Усреднение сглаживает резкие колебания микроскопических величин, обусловленные микроструктурой вещества, и выявляет средний ход их зависимости от времени и координат, характерный для сплошной среды. Однако, проведенное усреднение в уравнениях (1.9) – (1.11) имеет пока символический характер, так как неизвестны средние значения плотностей заряда и тока, которые зависят от существующих в теле полей Е и В и не могут быть заданы произвольно. Раскрытие этих зависимостей и есть основная задача построения системы феноменологических уравнений.

Токи и заряды в уравнениях (1.9) – (1.13) состоят, вообще говоря, из двух частей. Часть зарядов и токов является функционалами тех же самых полей Е и В, которые эти токи и заряды в значительной степени сами и определяют (самосогласованные поля). Такие заряды и токи можно назвать внутренними или собственными. Часть же зарядов и токов может быть обусловлена внешними по отношению к данной задаче причинами. Такие заряды и токи, не зависящие от Е и В, иногда называют сторонними или внешними, то есть в уравнениях (1.9) – (1.13) следует положить . Отметим, что при обозначении плотности собственных зарядов индекс обычно опускается.

Собственные заряды в веществе, в свою очередь, можно разделить на свободные и связанные (локализованные). Свободными называют заряды, которые могут перемещаться на макроскопические расстояния. В отличие от них связанные заряды локализованы около некоторых центров. Примером свободных зарядов могут служить электроны проводимости в металле. Связанными зарядами в металле являются электроны внутренних оболочек атомов и их ядра. Такое разделение зарядов обусловлено существенно различным их поведением в медленно меняющихся полях.

Рассмотрим внутреннюю область электронейтрального непроводящего, то есть не содержащего свободных зарядов, вещества. Усреднение плотности заряда в веществе означает усреднение выражения (1.6) по координатам R_k атомов. При этом величина |r – R_k| пробегает интервал значений порядка размера физически малого объема. Следовательно, она в среднем значительно больше координат |r_i|, которые для связанных электронов порядка атомных размеров, то есть |r_i| << |r – R_k|. Это неравенство позволяет разложить усредненную плотность связанных зарядов по координатам r_i:

. (1.14)

Для электронейтральной среды первое слагаемое в правой части уравнения (1.14) равно нулю, а второе может быть выражено через среднюю плотность дипольного момента Р:

. (1.15)

Поэтому средняя плотность связанных зарядов в этом случае равна:

. (1.16)

Аналогично можно усреднить и выражение (1.7) для плотности тока. Ограничиваясь первыми членами разложения по малому параметру |r_i|/|r| с учетом формулы (1.15) получим:

.

Здесь a(b) – вектор с компонентами d_i = b_xa_i/x + b_ya_i/y + b_za_i/z, i = x, y, z, (векторный градиент). Третье слагаемое в правой части этого соотношения может быть выражено через производную плотности квадрупольного момента. Но квадрупольное слагаемое содержит дополнительную степень малой величины |r_i|/|r| – отношения атомных размеров к расстоянию, на котором меняется напряженность поля. Следовательно, квадрупольная поляризация среды мала, и треть­им слагаемым в выражении для средней плотности тока можно пренебречь в срав­нении с первым.

Второе слагаемое в этом соотношении может быть выражено через среднюю плотность магнитного момента вещества:

, (1.17)

где – магнитный момент, связанный с движением i-го заряда в k-м атоме. С учетом этого выражение для средней плотности тока j_л связанных зарядов принимает вид:

. (1.18)

Первое слагаемое в формуле (1.18) называется током поляризации, а второе – током намагничения, то есть j_p = P/t, j_m = c rot M.

В проводниках, содержащих наряду со связанными и свободные заряды, под действием приложенного поля возникает макроскопическое движение свободных зарядов, то есть электрический ток проводимости со средней плотностью . С учетом тока связанных зарядов (1.18) полное выражение для средней плотности микроскопического тока может быть записано в виде:

. (1.19)

При вычислении средней плотности заряда следует учесть, что теперь элек­тронейтральность тела в целом обеспечивается совокупностью как свободных, так и связанных зарядов, поэтому первое слагаемое в формуле (1.14) отли­ч­но от нуля, физически малый объем при этом может уже не быть электроней­т­ра­ль­ным:

, (1.20)

где – макроскопическая плотность свободных зарядов, непрерывная функция, в отличие от микроскопической плотности, определенной соотношением (1.6). Подставляя выражения (1.19) и (1.20) в усредненное микроскопическое уравнение непрерывности (1.13), получим макроскопическое уравнение непрерывности:

. (1.21)

Подставим теперь выражения (1.19) и (1.20) в усредненные уравнения (1.10) и (1.11):

, (1.22)

. (1.23)

Вместо величин Р и М, входящих в уравнения (1.22) и (1.23), введем функции D – вектор электрической индукции и Н – напряженность магнитного поля:

D = Е + 4Р, (1.24)

Н = В – 4М. (1.25)

В этих обозначениях уравнения (1.22) и (1.23) принимают вид:

, (1.26)

. (1.27)

Если тело не является электронейтральным, то есть в него введены извне дополнительные (сторонние) заряды, то к плотности заряда  в уравнении (1.26) следует добавить плотность сторонних зарядов _е, а к плотности тока j в уравнении (1.27) – плотность тока сторонних зарядов j_е. Таким образом, система уравнений Максвелла, описывающая поведение электромагнитных полей в веществе, принимает вид:

, (1.28)

, (1.29)

, (1.30)

. (1.31)

Система этих уравнений не является полной. К ней нужно добавить материальные уравнения, связывающие величины Р, М и j с существующими внутри тела макроскопическими полями, а также граничные условия, определяющие по­ве­дение макроскопических полей на границе раздела различных сред.