4.3. Электростатика диэлектриков

В диэлектриках в отличие от проводников отсутствуют свободные заряды, и не может существовать стационарный электрический ток, но могут существовать наведенные объемные заряды, объемная плотность которых в силу формул (1.16) и (1.24) равна

 = –div P = div (E – D)/4. (4.21)

Проинтегрируем уравнение (4.21) по объему бесконечно малого цилиндра, расположенного в переходном слое так, что его высота  есть толщина переходного слоя, а основание площадью S параллельно возникающей при   0 границе раздела. Используя теорему о среднем и теорему Гаусса – Остроградского, учитывая, что в вакууме Р = 0 и переходя к пределу   0, найдем плотность поверхностных связанных зарядов:

 = P_n. (4.22)

Соотношения (1.30), (1.37) и (4.4) позволяют получить уравнение для потенциала электрического поля в диэлектрике

. (4.23)

В случае, когда среда электрически однородная, изотропная и можно пренебречь пространственной дисперсией, уравнение (4.23) превращается в уравнение Пуассона

 = –4_е/. (4.24)

Граничные условия (1.32) и (1.35) для уравнения (4.24) принимают вид:

₁ =₂, ₁₁/n – ₂₂/n = 4_e. (4.25)

В явном виде статическая диэлектрическая проницаемость может быть вычислена только в рамках той или иной модели вещества. Для вычисления поляризации по формуле (1.15) как среднего дипольного момента среды необходимо найти смещение связанных зарядов под действием электрического поля в среде. При этом необходимо учитывать, что сила, действующая на принадлежащий среде связанный заряд, определяется не средним полем, которое складывается из поля внешних источников и самосогласованного поля, создаваемого всеми зарядами среды, включая рассматриваемый. Сила же, действующая на рассматриваемый заряд, определяется полем, созданным всеми зарядами среды, кро­ме рассматриваемого. Хотя число всех остальных зарядов в среде может быть очень велико, вклад выделенного заряда в суммарное поле в ближайшей ок­рестности этого заряда может быть достаточно велик.

Поле, действующее на отдельную частицу среды или на отдельный поляри­зующийся элемент среды, называется эффективным полем. Эффективное эле­ктрическое поле не меньше среднего. Рассмотрим эффективное поле в среде на примере жидкого однородного изотропного диэлектрика. В случае твердого диэ­лек­трика природа эффективного поля не меняется, но описание его ус­ло­ж­ня­ет­ся, поскольку силы, действующие на элемент среды, приводят не только к из­ме­не­нию плотности, как в жидкости, но и к сдвиговым напряжениям.

Пусть электрическое поле в жидкости создается неподвижными сторонними зарядами и остается постоянным при изменении плотности жидкости. Тогда изменение энергии стационарного электрического поля в среде под действием сил эффективного поля связано только с изменением диэлектрической проницаемости среды. Из формулы (1.47) следует, что

. (4.26)

Изменение диэлектрической проницаемости среды при ее деформации, описываемой вектором u, связано, во-первых, с переносом элемента среды из точки r – u в точку r. Обусловленное этим изменение диэлектрической проницаемости равно (r – u) – (r) = –u grad . Во-вторых, деформация вызывает изменение плотности среды d = – div u. Поэтому полное изменение диэлектрической проницаемости среды равно

 = –u grad  –  div u (/) (4.27)

Подставляя формулу (4.27) в выражение (4.26) и учитывая, что изменение энергии поля равно взятой с обратным знаком работе сил, действующих на среду, получим:

. (4.28)

Для того чтобы найти плотность электрической силы f, преобразуем второе слагаемое в левой части соотношения (4.28) так, чтобы вектор деформации u входил в него мультипликативно, как и в первое слагаемое:

.

Подставляя эту формулу в левую часть уравнения (4.28) и воспользовавшись теоремой Остроградского – Гаусса, преобразуем объемный интеграл от дивергенции в поток вектора  Е²u.(/) через поверхность, ограничивающую объем. Поскольку на поверхности тела вектор деформации равен нулю и учитывая произвольность вектора деформации u внутри тела, получим

. (4.29)

С другой стороны, плотность силы, действующей на элемент среды, равна средней силе, действующей на элементарные диполи р в единице объема со стороны эффективного поля Е_эф. Для элемента однородной среды, помещенной в постоянное электрическое поле, с учетом формулы (4.29) получаем:

,

откуда следует, что

. (4.30)

Из формулы (4.30) следует, что если диэлектрическая проницаемость линейно зависит от плотности, что характерно для газов, плазмы и других разреженных сред, то есть  = 1 + с, то эффективное поле совпадает со средним полем в среде. В конденсированных средах диэлектрическая проницаемость является нелинейной функцией плотности и эффективное поле отлично от среднего.

Соотношение (4.30) позволяет установить связь между макроскопической величиной – диэлектрической проницаемостью – и микроскопической атомной поляризуемостью. Поскольку р = _аЕ_эф, то Р = ( – 1)/(4)Е = np = n_аЕ_эф. Тогда

. (4.31)

Формулу (4.31) можно переписать в виде дифференциального уравнения, определяющего зависимость диэлектрической проницаемости от плотности среды. Полагая, что концентрация пропорциональна плотности, так что n = b, получим:

. (4.32)