4.2. Термодинамика проводников

Рассмотрим энергию электростатического поля, создаваемого заряженными проводниками. Как следует из формулы (1.47), плотность энергии электростатического поля равна w = ED/(8). Так как внутри проводников Е = 0, а вне их D = E, то для полной энергии поля по аналогии с выводом соотношения (4.12) с учетом формул (4.3), (4.4) (4.6), (4.7) и (4.9) получаем

. (4.14)

Здесь интеграл по объему берется по области пространства вне проводников.

С учетом формулы (4.11) соотношение (4.14) можно записать в виде квадратичной формы:

. (4.15)

Из условия существенной положительности квадратичной формы (4.15) следует ряд неравенств, которым должны удовлетворять элементы матрицы C_ij. В частности все коэффициенты емкости C_ii > 0, а все коэффициенты электростатической индукции C_ij < 0 при i  j.

Система заряженных проводников помимо электростатического поля и взаимодействующих с ним свободных зарядов содержит еще и сами проводники как материальные тела, поэтому полная энергия системы равна

. (4.16)

Здесь W₀(T, V) – энергия системы незаряженных проводников. Дифференцируя соотношение по q_i, получим с учетом формулы (4.11):

. (4.17)

Таким образом, потенциал _i имеет смысл обобщенной силы, относящейся к обобщенной координате q_i.

В соотношении (4.16) в качестве независимых переменных выбраны заряды на проводниках q_i, так как в системе изолированных проводников удобнее задавать именно заряды. Система с заданными потенциалами проводников не является замкнутой. Для поддержания потенциалов постоянными необходимо соединять проводники с какими-то "резервуарами", то есть проводниками, обладающими бесконечно большой емкостью. Заряжаясь зарядом q_i, проводник отбирает от "резервуара" энергию q_i_i. Поэтому энергия замкнутой системы, состоящей из проводников, поля и "резервуаров", с учетом формулы (4.10) равна

. (4.18)

На заряженный проводник в электрическом поле действует сила, по общему правилу равная производной потенциальной энергии системы по координатам проводника, взятой с обратным знаком. Формально можно найти эту силу дифференцированием соотношений (4.16) или (4.18). Так, для системы изолированных проводников с фиксированными зарядами

. (4.19)

Однако на практике удобнее выражать давление, то есть силу, действующую на единицу поверхности проводника, через напряженность поля вблизи этой поверхности.

Если малый участок площадью s переместится на малое расстояние dr, то при неизменном полном заряде проводника останется постоянным плотность поверхностного заряда  и, в силу формулы (4.8), поле Е на поверхности проводника. Изменение энергии поля составит dW = –wsndr = –E²sndr/(8), где n –внешняя нормаль к поверхности проводника. Поскольку на поверхности проводника E = nE, для силы f, действующей на единицу поверхности проводника, с учетом формулы (4.8) получаем

f = EE/(8) = E/2. (4.20)