4.Стационарное электрическое поле

В стационарных полях плотности токов и зарядов не зависят от времени, соответственно и создаваемые этими токами и зарядами поля от времени не зависят. В результате система уравнений Максвелла (1.28) – (1.31) разбивается на две независимые системы. Стационарные уравнения (1.28) и (1.30) rot E = 0,

div D = 4( + _e), совместно с материальным уравнением (1.37) и граничными условиями (1.32) и (1.35) позволяют по заданным зарядам найти напряженность электрического поля.

4.1. Электростатика проводников

В диэлектриках нет свободных зарядов, то есть  = 0, а распределение сторонних зарядов _e задается внешними условиями. Следовательно, для диэлектрика система стационарных уравнений (1.28), (1.30), (1.37) является замкнутой. Для проводников же плотность свободных зарядов зависит от напряженности поля и не может быть задана произвольно. Поэтому систему уравнений следует дополнить уравнением непрерывности (1.21) и законом Ома (1.40). В стационарном случае при /t = 0 получаем div j = 0, то есть

(_ijE_j)/x_i = 0 (4.1)

Уравнение (4.1) заменяет для внутренних областей проводника уравнение (1.30), которое, в свою очередь, позволяет найти стационарное распределение свободных зарядов по найденному распределению электрического поля. Электрическое поле, вызывающее ток в проводнике, производит над перемещающимися свободными зарядами работу. Энергия поля диссипирует в проводнике, переходя в тепло. Поэтому термодинамически равновесным (статическим) будет сос­то­я­ние с напряженностью поля равной нулю, что соответствует локализации всех наведенных свободных зарядов на поверхности проводника.

Процесс диссипации энергии в проводнике может быть стационарным (но не статическим) при наличии в проводнике сторонних сил f_e неэлектрического происхождения, входящих в правую часть уравнения (1.5). Элементами проводящей цепи, включающими сторонние силы, могут быть аккумуляторы, гальванические элементы, участки с градиентом температуры и т. д. В области таких элементов закон Ома в форме (1.40) неприменим. Положительная работа над зарядами сторонних сил в этих элементах компенсирует уменьшение энергии при диссипации в проводниках. Конечно, уменьшение внутренней энергии в этих элементах означает, что процесс протекания тока не стационарен. Однако это уменьшение обычно происходит настолько медленно, что в ряде случаев им можно пренебречь.

Рассмотрим систему заряженных проводников, помещенную в вакуум

( =  = 1,  = _e = 0, j = j_e = 0). В статическом случае напряженность электрического поля внутри каждого проводника равна нулю, а в пространстве между проводниками удовлетворяет усредненным уравнениям (1.1) и (1.2):

rot E = 0, (4.2)

div E = 0. (4.3)

Условие (4.2) позволяет вместо векторной функции E(r) выбрать скалярную функцию (r), связанную с E(r) соотношением

E(r) = – grad (r). (4.4)

Подстановка соотношения (4.4) в уравнение (4.2) оно обращается в тождество, а из уравнения (4.3) получаем, что в пространстве между проводниками скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

 = 0. (4.5)

Скалярный потенциал имеет смысл потенциальной энергии единичного точечного заряда в электрическом поле, в частности разность значений потенциала  в точках 1 и 2 дает работу сил поля при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2. Скалярный потенциал определен с точностью до произвольной постоянной, обычно ее определяют, требуя обращения в нуль потенциала на бесконечности. Это требование может быть выполнено, когда заряды расположены в ограниченной области пространства.

Предполагая, что система проводников занимает ограниченное пространство, нормируем потенциал так, чтобы

. (4.6)

На поверхности проводников должны выполняться граничные условия (1.32) и (1.35). Из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля с учетом того, что внутри проводника Е = 0, следует, что потенциал  постоянен на поверхности S_i i-го проводника:

. (4.7)

Аналогично из условия (1.35), учитывая, что в вакууме D = E, а в проводнике D = E = 0, получим:

. (4.8)

Полный заряд q_i i-го проводника можно найти, интегрируя по его поверхности соотношение (4.8):

. (4.9)

Уравнение Лапласа (4.5) с граничными условиями (4.7) и нормировкой (4.6) (задача Дирихле) име­ет единственное решение, а функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В частности, задание потенциалов всех проводников _i однозначно определяет распределение поверхностных зарядов (4.8) на них и потенциала (r) в пространстве между проводниками, который меньше, чем наибольший из потенциалов проводников _i, и больше, чем наименьший. Гармоническая функция (r) не имеет экстремумов в пространстве между проводниками.

В силу однозначности решения задачи Дирихле (4.7) и линейности уравнения Лапласа (4.5) заряд каждого проводника вида (4.9) является линейной функцией потенциалов всех проводников:

. (4.10)

Диагональные элементы C_ii матрицы (4.10) называются коэффициентами емкости, а недиагональные элементы C_ij, i  j – коэффициентами электростатической индукции. Элементы C_ij матрицы (4.10) зависят от формы, размера и взаимного расположения проводников. Решение системы линейных уравнений (4.10) можно записать в виде

. (4.11)

Рассмотрим систему неподвижных проводников. Пусть при потенциалах _i эти проводники имеют заряды q_i, а при потенциалах _i эти проводники имеют заряды соответственно q_i. Обозначим E(r) и E(r) электрическое поле вне проводников в первом и во втором случаях соответственно и рассмотрим интеграл

, где интегрирование ведется по всему пространству вне проводников. Подставляя в интеграл формулу (4.4) E(r) = –grad (r), воспользовавшись тождеством div ( E) =  div E + E grad , теоремой Гаусса и уравнениями (4.3), (4.6), (4.7) и (4.9) получим:

.

Аналогично, подставляя E(r) = –grad (r), получим

.

Таким образом,

. (4.12)

Соотношение (4.12) называется теоремой взаимности. Пусть в первом случае отличен от нуля потенциал только i-го проводника, а во втором – только j-го. Тогда из формулы (4.10) следует, что q_j = C_ji_i, q_i = C_ij_j, а теорема взаимности (4.12) принимает вид _iq_i = _jq_j, откуда следует, что

C_ji = C_ij, (4.13)

то есть матрица (4.10) симметричная.