3.5. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

При выводе уравнения Пойнтинга (1.46) предполагалась мгновенная и лока­ль­ная связь между векторами поля и индукции, что справедливо только для не­дис­пергирующих сред. Только в этом случае величины  и  постоянны, и выражение (1.47) является функцией состояния. Кроме того, выражения (1.47) и (1.48) были отождествлены с плотностью энергии и ее потоком соответственно на основании предположения, что вели­чина E(j + j_e) равна работе электромагнитного поля над заряженными частицами среды. Это утверждение также справе­д­ливо не всегда. Величина Ej_e действительно равна работе электромагнитного поля над сторонними зарядами, поскольку по определению движение сторонних зарядов не зависит от микроскопического поля.

В общем случае работа поля над средой в единицу времени в единице объема равна . Вы­чи­с­ление двух первых слагаемых в правой части этой формулы и выделение из них диссипативной части требует анализа микроскопических уравнений дви­жения вида (1.8). Аналогично плотность энергии поля в среде как сумму средних значений энергии микроскопического поля и механической энергии индуцированных зарядов следует записать в виде , где  – потенциал микроскопического электрического поля. Вычисление таких средних и их выражение через текущие значения макроскопических полей в настоящее время невозможно.

Умножим обе части уравнения (1.44) скалярно на Е и вычтем из полученного выражения уравнение (1.28) , скалярно умноженное на В:

. (3.46)

Уравнение (3.46) отличается от формулы Пойнтинга (1.46) не только тем, что в его левую часть входят магнитная индукция и обобщенная индукция вместо напряженности магнитного поля и электрической индукции. Поскольку правая часть содержит только работу поля над сторонними зарядами, а работа над индуцированными (свободными и связанными) зарядами входит в левую часть, выражение определяет одновременно и приращение энергии поля в среде, и ее диссипацию и, как будет показано далее, вносит вклад в поток энергии.

Величина для диспергирующей среды не является фун­к­цией состояния, так как в силу формулы (3.8) значение обобщенной индукции зависит от предшествующих значений поля. Теорема Пойнтинга (1.46) не содержит никаких указаний на то, как именно выражение в левой части формулы (3.46) должно делиться на части, описывающие приращение энергии поля в диспергирующей среде, ее диссипацию и поток. Такие указания можно получить только из материальных уравнений. Однако, выражение работы микроскопического поля над частицами среды через макроскопические поле и плотность тока индуцированных зарядов требует анализа микроскопических урав­нений движения. В настоящее время не удается получить общее решение таких уравнений, выраженное через феноменологическое материальное уравнение вида .

Выражение для энергии электромагнитного поля в диспергирующей среде можно получить для случая слабой диссипации, когда поле близко к монохроматическому, и его энергия на определенной частоте велика в сравнении с потерями в среде. Для квазимонохроматических полей E(r, t) = E₀(r, t)exp[i(kr – t)], B(r, t) = B₀(r, t)exp[i(kr – t)] комплексные амплитуды E₀(r, t) и B₀(r, t) являются медленно меняющимися функциями координат и времени, то есть

|E_0i| << k|E₀|, |E_0i/t| << |E₀|, |B_0i| << k|B₀|, |B_0i/t| << |B₀|. (3.47)

Условие малой диссипации означает, что

. (3.48)

Подставив в уравнение (3.4) для обобщенной индукции, обусловленной волной ММА

разложение медленно меняющейся амплитуды в ряд Тейлора

E₀(r – R, t – ) = E₀(r, t) – (R)E₀(r, t) – E₀(r, t)/t + ..., (3.49)

получим с учетом соотношения (3.15):

.

Пренебрегая вторыми производными ММА, получим:

.(3.50)

Усредним уравнение (3.46) по периоду Т = 2/, считая при этом медленно меняющиеся амплитуды постоянными. В левой части уравнения (3.46) действительные значения поля и производной обобщенной индукции возьмем в виде

, .

Соответственно, с учетом формулы (3.50)

.(3.51)

Произведение представляет собой эрмитовый тензор второго ранга. Запишем и учтем, что свертка двух эрмитовых тензоров – действительная величина, а свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров – чисто мнимая величина. Поэтому, с учетом формулы (3.37) получим

, (3.52)

где q – средняя за период диссипация энергии.

В двух оставшихся слагаемых в правой части формулы (3.51) на основании соотношения (3.48) пренебрежем антиэрмитовой частью тензора комплексной восприимчивости, то есть, положим . Выделяя в тензоре эрмитовую и антиэрмитовую составляющие по формулам (3.38) и пользуясь снова тем, что свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров чисто мнимая величина, получим

(3.53)

Здесь учтено, что среда является пространственно однородной.

Третье слагаемое формулы (3.51) для стационарной среды принимает вид:

(3.54)

Подставляя формулы (3.51), (3.52), (3.53) и (3.54) в левую часть усредненного по периоду уравнения (3.46) и учитывая, что

,

,

получим:

(3.55)

Уравнение (3.55) имеет структуру теоремы Пойнтинга (1.46), поскольку в правой его части со знаком минус стоят средние за период работа электрического поля над внешними зарядами и мощность тепловых потерь. Поэтому для средних за период плотности энергии и потока энергии электромагнитного поля в диспергирующей среде получаем соотношения:

, (3.56)

. (3.57)

Отметим, что в диспергирующей среде поток энергии оказывается не равным нулю и в случае безвихревого поля, когда В = 0. В этом случае перенос энергии полем обусловлен пространственной дисперсией. Если среда является изотропной и магнитной, но не диспергирующей, то, считая проницаемости  и  не зависящими от частоты, из формулы (3.35) получаем

.

Подставляя это соотношение в формулу (3.56) и пренебрегая , получим:

,

что совпадает с формулой (1.47). Для диспергирующей изотропной магнитной сре­ды из формул (3.35) и (3.56) аналогично можно получить выражение для средней за период плотности энергии в виде:

, (3.58)