3.3. Пространственная дисперсия

Связь между воздействием поля и реакцией среды является интегральной не только во времени. Эта связь может быть нелокальной, то есть реакция системы в некоторой точке может определяться не только напряженностью полей в той же самой точке, но и полями в окрестности данной точки. Этому соответствует интеграл по объему в соотношениях (3.1) – (3.3). Аналогичное соотношение в случае немагнитной среды можно записать и для обобщенной индукции (3.4)

.(3.26)

Электрическое поле E(r, t) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)

, (3.27)

. (3.28)

Аналогично можно определить D(k, ). Взяв преобразование Фурье вида (3.27) от правых и левых частей уравнения (3.4), получим с учетом известной теоремы о спектре свертки

, (3.29)

где тензор комплексной диэлектрической проницаемости, компоненты которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, для немагнитной среды в силу соотношения (3.26)

. (3.30)

Из определений (3.30) видно, что , ,

Если связь реакции среды с электрическим полем носит локальный характер, то есть _ij(r, t) = (r)_ij(t),_ij(r, t) = (r)_ij(t) то из уравнений (3.26) и (3.30) следует

,

,

,

то есть функция не зависит от волнового вектора k и может быть записана только как функция одной частоты , положим в ней k = 0. Таким образом, переход к пределу соответствует пренебрежению пространственной дисперсией, а учет зависимости комплексной проницаемости от волнового вектора – нелокальному характеру связи между полем и реакцией среды.

Насколько пространственная дисперсия существенна, определяется параметром kl, k = |k| – волновое число, l – характерный пространственный масштаб движения частиц среды, в качестве которого может выступать длина свободного пробега носителей заряда в твердом теле или плазме, размер куперовской пары в сверхпроводнике и т. д. Значение l может быть порядка размера структурных элементов среды или пути, проходимого частицами среды за период изменения поля. Пространственную дисперсию необходимо учитывать, если kl  1. Это условие означает, что частицы движутся в существенно неоднородном поле.

При наличии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость оказывается тензором, а не скаляром даже для изотропной среды. Выделенное направление в этом случае задает волновой вектор k. Если среда не только изотропна, но и обладает центром инверсии, тензор _ij может быть составлен только из компонент волнового вектора k и единичного тензора _ij. При отсутствии симметрии возможен еще член с единичным антисимметричным тензором 3-го ранга e_ijk. Поскольку компоненты тензора 2-го ранга преобразуются как произведения компонент вектора, единственный тензор 2-го ранга из компонент волнового вектора k будет иметь вид k_ik_j/k². Тогда

. (3.31)

Такой вид комплексной диэлектрической проницаемости означает, что уравнение (3.29) может быть записано в виде

. (3.32)

Здесь обозначено E_|| = k(kE)/k² – проекция вектора Е на направление волнового вектора k, соответственно Е_ = Е – E_|| – составляющая вектора Е, перпендикулярная волновому вектору k.

Нетрудно видеть, что, если вектор напряженности электрического поля перпендикулярен волновому вектору, то kE = 0 и . Таким образом, величина является комплексной проницаемостью для поперечно­го (по отношению к волновому вектору) поля. Если же вектора k и E параллельны, то , то есть величина является комплексной про­ни­цаемостью для продольного поля.

Рассмотрим изотропную магнитную среду. Из Фурье-образов уравнения (1.30) с материальным уравнением (1.37) ikE = 4( + _e), уравнения непрерывности (1.21) и закона Ома (1.40) i = kЕ получим ikE( + 4i/) = 4_e. Сравнивая это уравнение и Фурье-образ уравнения (1.43) с материальным уравнением (3.32) ikE = 4_e, получаем

. (3.33)

Вычитая из Фурье-образа уравнения (1.44)

Фурье-образ уравнения (1.31)

,

видим, что i-я компонента разностного уравнения имеет вид

.

Выразим вектор В в левой части этого уравнения через вектор Е с помощью Фурье-образа уравнения (1.28) [k  E] = B/c. Раскрывая получившееся дво­й­ное векторное произведение и сокращая на Е обе части, получим

. (3.34)

Соответственно, из уравнений (3.31) и (3.34) получаем:

. (3.35)

Таким образом, в изотропной среде различие продольной и поперечной проницаемостей обусловлено магнитными свойствами среды. Для переменных полей, пока вектор В можно выразить через вектор Е с помощью уравнения (1.28) как , для полного описания и электрических и магнитных свойств изотропной среды достаточно знать 2 зависящие от k и от  величины – диэлектрические проницаемости и . Для постоянных полей при  = 0 вектор В уже нельзя выразить через вектор Е, поэтому в этом случае для полного описания электромагнитных свойств однородных сред требуется знание и зависящей только от волнового вектора магнитной проницаемости (k).