3.2. Соотношения Крамерса – Кронига

Рассмотрим аналитические свойства комплексной проницаемости. Для простоты будем считать ее скалярной величиной, тензорный характер проницаемости не меняет полученных выводов. Интегрируя по частям соотношение (2.11) и учитывая, что функция (t) гладкая и () = 0, получим:

. (3.17)

Следовательно, , . Аналогично показывается, что , , , , ,

Если рассматривать частоту  как комплексную переменную  =  + i, то функция () не имеет полюсов в верхней полуплоскости, то есть является там аналитической. Действительно, экспонента в подынтегральном выражении формулы (3.12) принимает вид exp[(i – )t]. Поскольку t > 0, то множитель exp(–t) при  > 0 обеспечивает быструю сходимость интеграла. Можно доказать, что функция () не имеет нулей в верхней полуплоскости и принимает там действительные значения только на мнимой полуоси  = i, причем (i) является монотонной функцией. Из формулы (3.16) следует, что функция в верхней полуплоскости имеет единственный полюс  = 0.

Аналитичность функции () в верхней полуплоскости комплексной переменной  =  + i означает, что действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости не являются независимыми. Они связаны между собой соотношениями Коши ­– Римана:

. (3.18)

На практике величины  и  обычно измеряют в гармоническом режиме как функции действительной частоты, поэтому связь между ними удобнее записывать в виде интегралов по действительным частотам.

Рассмотрим замкнутый контуру C, лежащий в верхней полуплоскости и состоящий из дуг С₁ и С₂ радиусами R и r c центром в начале координат, дуги С₃ радиусом r c центром в точке ₁ =  и отрезков действительной оси, соединяющих эти дуги. В силу теоремы Коши интеграл от аналитической функции по этому контуру равен нулю, то есть

.

Устремим R к бесконечности, а r к нулю. В силу соотношения (3.17) подынтегральное выражение стремится к нулю при ||   быстрее, чем 1/||, следовательно интеграл по дуге С₁ при R   стремится к нулю. При r  0 интегралы по дугам С₂ и С₃ соответственно равны –4²(0)/ и – . Поэтому

.

Разделяя в этой формуле действительную и мнимую части, получим соотношения Крамерса – Кронига:

, (3.19)

. (3.20)

Несобственные интегралы в этих формулах понимаются в смысле главного значения. Аналогично легко получить соотношения Крамерса – Кронига для диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также для проводимости, хотя они применяются редко:

, , (3.21)

, , (3.22)

, . (3.23)

Соотношения Крамерса – Кронига (3.19) и (3.20), часто называемые дисперсионными соотношениями, иногда записывают так, чтобы интегрирование производилось только по положительным частотам. Такая форма записи более удобна для анализа экспериментальных результатов. Разобьем в формулах (3.19) и (3.20) интервал интегрирования на два участка от – до 0 и от 0 до + и заменим в первом интеграле переменную ₁ на –₁. Учитывая четность функции () и нечетность функции (), получим:

, (3.24)

. (3.25)