Пример решения
Пусть задан грунт – песок мелкий с характеристиками s=26,5 кН/м3, =19,6 кН/м3, =0,13.
По известным формулам определяем коэффициент пористости и степень влажности (учитывая, что =g и =1 т/м3):
,
.
На основании классификации [1] по плотности и степени влажности устанавливаем полное наименование: песок мелкий, плотный, средней степени водонасыщения.
По СНиП [2] условное расчетное сопротивление песка как основания здания R0=300 кПа.
По смыслу физических характеристик имеем два уравнения:
где Q и Qs – вес воды и скелета в 1 м3 грунта.
Решая систему, получаем Qs=17,35 кН, Q=2,25 кН.
Полную влагоемкость находим, приравнивая Sr единице и определяя влажность:
.
Плотность сухого грунта
т/м3.
Пористость грунта определяем по формуле
.
Задание 2. Определение вертикальных сжимающих напряжений
в массиве грунта от совместного действия сосредоточенных сил
Построить эпюры вертикальных сжимающих напряжений в массиве грунта от совместного действия сосредоточенных сил N1, N2, N3, (рис. 2.1) в точках на вертикали, проходящей через ось действия силы N2, и на горизонтали, расположенной в плоскости действия сил на глубине z от ограничивающей полупространство поверхности. Точки по вертикали на глубине 1, 2, 4 и 6 м, по горизонтали на расстоянии 1 и 3 м вправо и влево от оси N2.
Исходные данные – по табл. 2.1.
Рис. 2.1. Схема к задаче 2
Таблица 2.1. Исходные данные к задаче 2
Вариант |
N1, kH |
N2, kH |
N3, kH |
r1,м |
r3,м |
z,м |
1 |
1300 |
600 |
1300 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1500 |
700 |
1900 |
2 |
3 |
2,5 |
3 |
1400 |
600 |
1100 |
3 |
1 |
3 |
4 |
1000 |
600 |
1100 |
1 |
1 |
2 |
5 |
1800 |
800 |
1600 |
3 |
2 |
1,5 |
6 |
1100 |
700 |
1800 |
2 |
3 |
2 |
7 |
1300 |
500 |
1500 |
3 |
2 |
3 |
8 |
1900 |
600 |
1300 |
3 |
1 |
2 |
9 |
1200 |
800 |
1200 |
2 |
2 |
2,5 |
10 |
1200 |
800 |
1400 |
1 |
2 |
3 |
11 |
1500 |
600 |
1100 |
3 |
3 |
2 |
12 |
1800 |
700 |
1900 |
1 |
2 |
2,5 |
13 |
1300 |
500 |
1300 |
1 |
1 |
3 |
14 |
1800 |
800 |
1800 |
2 |
2 |
2 |
15 |
1100 |
600 |
1600 |
1 |
2 |
1,5 |
16 |
1500 |
700 |
1400 |
3 |
3 |
3 |
17 |
1000 |
500 |
1100 |
3 |
1 |
2 |
18 |
1800 |
800 |
1500 |
2 |
2 |
3 |
19 |
1300 |
700 |
1400 |
2 |
1 |
2,5 |
20 |
1800 |
600 |
1600 |
1 |
2 |
2 |
21 |
1200 |
800 |
1800 |
3 |
2 |
3 |
22 |
1900 |
700 |
1300 |
2 |
1 |
3 |
23 |
1100 |
500 |
1100 |
3 |
3 |
1,5 |
24 |
1000 |
600 |
1900 |
1 |
3 |
2 |
25 |
1300 |
800 |
1200 |
2 |
2 |
2 |
Пример
Построить эпюры вертикальных сжимающих напряжений от совместного действия сосредоточенных сил N1 = 1800 кН, N2 = 800 кН, N3 = 1400 кН в точках на вертикали, проходящей через ось действия силы N2 на глубине 1, 2, 4 и 6 м, и горизонтали, расположенной на глубине h = 3 м, на расстоянии 1 и 3 м вправо и влево от оси N2 (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Схема расположения сил и точек определения
вертикальных сжимающих напряжений
Решение.
Согласно решению Буссинеска вертикальное напряжение в любой точке упругого основания от нескольких сосредоточенных сил, приложенных к ограничивающей поверхности, определяется по формуле
,
где K1, K2 и K3 – коэффициенты, определяемые в зависимости от соотношения r/z по [4]; r – расстояние по горизонтали от оси, проходящей через точку приложения сосредоточенной силы; z – вертикальная координата рассматриваемой точки от ограничивающей плоскости.
Определим напряжения по оси действия силы N2.
Для
точки, находящейся на глубине z1=1
м, отношение
для силы N1;
для силы N2;
для силы N3.
Значения коэффициентов K
будут следующими: K1
= 0,0015; K2
= 0,4775;
K3
= 0,0844.
Напряжение от совместного действия трех сосредоточенных сил
Для
точки, находящейся на глубине z2=2
м, отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,0251; K2
= 0,4775; K3
= 0,2733.
Напряжение
Для
точки, находящейся на глубине z3=3
м, отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,0844;
K2
= 0,4775; K3
= 0,3669.
Напряжение
Для
точки, находящейся на глубине z4=4
м, отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,1565; K2
= 0,4775; K3
= 0,4103.
Напряжение
Для
точки, находящейся на глубине z=6
м, отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,2733;
K2
= 0,4775; K3
= 0,4457.
Напряжение
Определим напряжения на горизонтальной прямой в точках A, В, С, D на глубине z =3 м.
Для
точки А отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,4775; K2
= 0,0844;
K3
= 0,0371.
Напряжение в точке А
Для
точки В отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,1904; K2
= 0,3669;
K3
= 0,1904.
Напряжение в точке В
Для
точки С отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,0371; K2
= 0,3669;
K3
= 0,4775.
Напряжение в точке С
Для
точки D
отношения
;
;
.
Значения коэффициентов K1
= 0,0085; K2
= 0,0844;
K3
= 0,1904.
Напряжение в точке D
Построим эпюры вертикальных напряжений, откладывая ординаты соответствующих значений в расчетных точках по вертикали и горизонтали. Эпюры напряжений приведены на рис 2.3.
Рис. 2.3. Эпюры распределения напряжений
по вертикальному и горизонтальному сечениям
Задание 3. Определение вертикальных сжимающих напряжений
в массиве грунта от совместного действия равномерно
распределенных по прямоугольным площадям нагрузок
Построить эпюры вертикальных сжимающих напряжений в массиве грунта от совместного действия равномерно распределенных по прямоугольным площадям нагрузок p1 и p2 (рис. 3.1) в точках на заданной вертикали.
Исходные данные – по табл. 3.1.
Рис. 3.1. Схема к задаче 3
Таблица 3.1. Исходные данные к задаче 3
Вариант |
l1, м |
b1, м |
l2, м |
b2, м |
p1, кПа |
p2, кПа |
L, м |
Расчетная вертикаль |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
5,0 |
2,4 |
6,0 |
2,4 |
380 |
320 |
4,0 |
M1 |
2 |
2,7 |
1,9 |
3,5 |
2,5 |
320 |
340 |
3,2 |
МЗ |
3 |
2,5 |
2,1 |
3,6 |
2,4 |
320 |
410 |
3,8 |
М2 |
Продолжение табл. 3.1 |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
1,9 |
1,9 |
2,9 |
2,6 |
280 |
320 |
3,2 |
Ml |
5 |
2,2 |
2,2 |
3,0 |
2,4 |
260 |
360 |
3,0 |
М2 |
6 |
2,5 |
1,9 |
6,0 |
2,8 |
290 |
330 |
2,8 |
МЗ |
7 |
2,6 |
2,1 |
5,0 |
2,4 |
340 |
380 |
3,0 |
М2 |
8 |
2,9 |
2,6 |
3,5 |
2,5 |
320 |
290 |
3,5 |
МЗ |
9 |
3,3 |
2,3 |
4,0 |
2,4 |
240 |
350 |
3,3 |
М2 |
10 |
2,5 |
1,9 |
3,3 |
2,3 |
280 |
310 |
2,8 |
Ml |
11 |
2,2 |
2,4 |
6,0 |
2,8 |
290 |
330 |
4,0 |
МЗ |
12 |
2,5 |
2,2 |
2,9 |
2,4 |
310 |
410 |
3,4 |
М2 |
13 |
5,0 |
2,1 |
3,5 |
2,6 |
380 |
320 |
2,8 |
Ml |
14 |
2,7 |
1,9 |
3,0 |
2,5 |
260 |
360 |
3,2 |
М2 |
15 |
1,9 |
2,6 |
4,0 |
2,3 |
320 |
320 |
3,0 |
Ml |
16 |
2,5 |
2,3 |
5,0 |
2,5 |
280 |
380 |
3,4 |
МЗ |
17 |
2,9 |
1,9 |
3,3 |
2,4 |
340 |
310 |
3,5 |
М2 |
18 |
2,6 |
2,1 |
4,0 |
2,3 |
240 |
290 |
2,8 |
Ml |
19 |
3,3 |
2,4 |
3,5 |
2,8 |
320 |
350 |
3,3 |
МЗ |
20 |
5,0 |
2,2 |
6,0 |
2,6 |
280 |
320 |
3,0 |
М2 |
21 |
2,5 |
2,6 |
2,9 |
2,4 |
260 |
410 |
2,8 |
МЗ |
22 |
2,2 |
1,9 |
3,5 |
2,3 |
310 |
360 |
3,2 |
М2 |
23 |
2,5 |
1,9 |
3,0 |
2,5 |
380 |
330 |
4,0 |
Ml |
24 |
5,0 |
2,3 |
4,0 |
2,8 |
320 |
290 |
3,4 |
МЗ |
25 |
2,7 |
2,1 |
3,3 |
2,4 |
290 |
340 |
3,5 |
Ml |
Пример
Построить эпюры вертикальных сжимающих напряжений от совместного действия равномерно распределенных по прямоугольным площадям нагрузок p1=310 кПа и p2= 410 кПа (рис. 3.2) в точках на вертикали M2. Размеры площадей: l1=2,5 м, b1=2,5 м; l2=4,0 м, b2=2,4 м. Расстояние между осями фундаментов L=3,4 м. Расчетная вертикаль М2.
Рис. 3.2. Схема расположения площадей нагрузки
Решение
Напряжение, возникающее в грунте под центром прямоугольной площади загружения равномерно распределенной нагрузкой, находят по формуле
,
где
- коэффициент, определяемый по СНиП [2]
в зависимости от соотношений
и
.
Здесь b
и l
– соответственно ширина и длина
прямоугольника; p
– равномерно распределенное давление.
Напряжения в угловых точках прямоугольной площади загружения определяются по формуле
,
где
принимается также по СНиП [2], но для
.
Для
расчета напряжений в массиве грунта с
учетом влияния соседних площадей
загружения будем
использовать метод угловых точек, в
соответствии с которым вертикальные
нормальные напряжения
на
глубине z
по вертикали
М2
определяются
алгебраическим суммированием напряжений
от рассчитываемой и соседних площадей
загружения по формуле
,
где
–
вертикальное напряжение на глубине z
от рассчитываемой площади загрузки; k
– число соседних площадей загрузки;
–
давление,
передаваемое соседней i-ой
площадью загружения.
Выполним построение, приложив фиктивную нагрузку по прямоугольнику АВEG, имеющую то же значение, что и заданная p2, но действующую в другом направлении (рис. 3.3).
Разобьем прямоугольник ABCD на четыре прямоугольника M2BCN, AM2ND, M2BEK, AM2KG, для которых точка M2 является угловой.
Рис. 3.3. Схема расположения действительной и фиктивной нагрузок
Определяем значения для рассматриваемых площадей загружения: для рассчитываемой площади загружения
,
для прямоугольников M2BCN и AM2ND
,
для прямоугольников M2BEK и AM2KG
.
Разбиваем массив грунта на слои толщиной
.
Вычисляем напряжения на границах слоев, результаты вычисления сводим в таблицу.
Таблица 3.2. Величины вертикальных сжимающих напряжений в массиве грунта в точках на вертикали М2
Глубина точки z, м |
Рассчитываемая площадь загружения, вертикаль М2 |
Дополнительные площади загружения I и II |
Фиктивные площади загружения III и IV |
Итоговое напряжение zp,М2, кПа |
||||||
= 2z/b = 2z/2,5 |
при = 1,0 |
Напряжение zp,f , кПа |
= z/b = z/2 |
, при I = 2,3 |
Суммарное напряжение zp,2, кПа |
= z/b = z/2 |
, при III = 1,1 |
Суммарное напряжение ’zp,2, кПа |
||
0 |
0 |
1,00 |
310 |
0 |
1,0 |
205,0 |
0 |
1,00 |
-205 |
310,0 |
1,0 |
0,8 |
0,800 |
248 |
0,5 |
0,951 |
195,0 |
0,5 |
0,965 |
-197,8 |
245,2 |
2,0 |
1,6 |
0,449 |
139,2 |
1,0 |
0,805 |
165,0 |
1,0 |
0,719 |
-147,4 |
156,8 |
3,0 |
2,4 |
0,257 |
79,7 |
1,5 |
0,640 |
131,2 |
1,5 |
0,511 |
-104,8 |
106,1 |
4,0 |
3,2 |
0,160 |
49,6 |
2,0 |
0,498 |
102,1 |
2,0 |
0,356 |
-73,0 |
78,7 |
5,0 |
4,0 |
0,108 |
33,5 |
2,5 |
0,395 |
81,0 |
2,5 |
0,261 |
-53,5 |
61,0 |
6,0 |
4,8 |
0,077 |
23,9 |
3,0 |
0,314 |
64,4 |
3,0 |
0,195 |
-40,0 |
48,3 |
Примечание.
Напряжения
от рассчитываемой
площади загружения определяются по
формуле
кПа, от
дополнительных
площадей загружения I
и II
–
кПа,
от фиктивных
площадей загружения III
и IV
-
.
Рис.
3.4. Эпюра вертикальных сжимающих
напряжений
Эпюра вертикальных сжимающих напряжений в массиве грунта в точках на вертикали М2 показана на рис. 3.4.
Задание 4. Определение вертикальных сжимающих напряжений