Алгоритм построения дерева достижимости

Пусть x – граничная вершина.

1. Если есть не граничная вершина y, такая, что [x]= [y], то вершина x граничная.

2. Если для [x] ни один переход не разрешён (для t_j  T: ([x], t_j) не определена), то вершина x терминальная.

3. Для t_j  T, t_j – разрешённый, создать вершину z. Маркировка [z] определяется покомпонентно следующим образом (i – номер позиции):

   • если [x]_i=, то [x]_i=;

   • если на пути от корня к x встречается вершина y такая, что [y]<([x], t_j), причём, [y]_i<([x], t_j)_i, то [z]_i=;

   • в противном случае [z]_i=([x], t_j)_i .

Дуга t_j направлена от x к z.

4. Алгоритм останавливается, когда нет граничных вершин.

Пример

Для предыдущего примера (рис. 24.2) дерево достижимости выглядит следующим образом.

Р ис. 24.4. Дерево достижимости для МСП, представленной на рис. 1.

Построим дерево достижимости ещё для одной сети Петри.

Р ис. 24.5. Сеть Петри и её дерево достижимости.

Конец примера

9.7. Применение дерева достижимости сети Петри для проверки безопасности и ограниченности.

Сеть Петри безопасна, если число фишек в каждой позиции не превышает 1, и ограничена, если оно не больше фиксированного положительного числа k. Безопасность – частный случай ограниченности при k = 1. Эти свойства могут быть проверены с помощью дерева достижимости.

Утверждение. Сеть Петри ограничена тогда и только тогда, когда её дерево достижимости не содержит .

Действительно, наличие  обозначает, что число фишек в данной позиции может быть произвольным, то есть существует последовательность переходов, применяя которую можно увеличить число фишек в ней до любого как угодно большого значения. таким образом, сеть не ограничена.

Обратно, если сеть не ограничена, значит, множество достижимых маркировок бесконечно. Так как дерево достижимости конечно, оно содержит вершину с  в одной из позиций. Приведение дерева достижимости к конечному виду может быть произведено с помощью соответствующего алгоритма.

Если сеть Петри ограничена, она представляет систему конечных состояний, причём, дерево достижимости – граф состояний, содержащий вершины, соответствующие любым достижимым маркировкам. таким образом, вопросы анализа решаются простым перебором. Так, границы для любой вершины определяются как максимум чисел, стоящих в этой позиции. Если граница всех позиций не превышает 1, сеть безопасна.

Пример

Р ис. 25.1. Оценка границы дерева достижимости.

Очевидно, что граница дерева достижимости k=2.

Конец примера

С помощью дерева достижимости можно анализировать часть сети Петри. В этом случае рассматриваются лишь те компоненты вектора маркировки, которые соответствуют исследуемым позициям. Часть сети может быть ограниченной, тогда как сеть целиком – нет.

9.8. Применение дерева достижимости сети Петри для проверки покрываемости

Пусть дана сеть Петри C с начальной маркировкой  . Задача покрываемости – определить, существует ли для произвольной маркировки ′ маркировка ′′R(C, ) такая, что ′′  ′ .

Для данной сети Петри с начальной маркировкой строится дерево достижимости. Затем просматриваются его вершины и ищется любая вершина x, для которой [x]  ′. Если такой вершины нет, значит, маркировка ′ не покрывается никакой достижимой маркировкой. Если вершина найдена, то соответствующая ей маркировка и есть искомая.

Путь от корня к вершине x определяет последовательность переходов, которую необходимо выполнить для решения задачи. Если покрывающая маркировка содержит символ , значит, в сети Петри есть цикл, который необходимо выполнить достаточное число раз для получения покрывающей маркировки. Если покрывающая маркировка содержит  в более чем одной позиции, между соответствующими позициями сети может существовать взаимосвязь. В этом случае расчёт переходов для каждой позиции в отдельности невозможен. Тем не менее, существует алгоритм (Карп и Миллер), который даёт возможность определить минимальное количество переходов для нахождения покрытия данной маркировки.

Пример

Р ис. 26.1. Проверка покрываемости с помощью дерева достижимости.

Предположим, что проверяется покрываемость маркировки ′=(0,14,1,7). Существует вершина (01), которая удовлетворяет условию. Ясно, что нужно достаточное количество раз запустить переход t₁, затем t₂, затем несколько раз переход t₃. Вопрос, сколько раз их нужно запускать. Конечно, можно сказать, что достаточно по 100 раз запустить каждый из них, получится покрывающая маркировка. Но если речь идёт о минимальном количестве запусков, приходим к выводу, что t₁ необходимо запустить 21 раз, затем t₂, затем t₃ 7 раз. Это обусловлено тем, что каждый запуск t₃ уменьшает число фишек во второй позиции на 1. Таким образом, последовательность переходов – 21t₁t₂7t₃.

Конец примера