Графы сетей Петри

Графы сетей Петри служат для графической интерпретации этого понятия. Они представляют удобный и наглядный инструмент как для изучения сетей, так и для моделирования систем с их помощью.

Узлы графа соответствуют позициям и переходам, то есть относятся к двум разным типам. Дуги соединяют позиции и переходы. Направления дуг – от входных элементов (узлов) к выходным, то есть, от входных позиций к соответствующему переходу и от входных переходов к соответствующим позициям. Кратные входы изображаются кратными дугами.

Графическое изображение элементов графа представлено на рис. 18.1. Окружность изображает позицию, чёрточка – переход, направленная дуга (стрелка) – линия с точкой на конце. Кратность изображается либо пучком дуг, либо широкой стрелкой с указанием кратности.

Р ис. 18.1. Элементы графа сети Петри.

Определение. Граф G сети Петри – двудольный ориентированный мультиграф, G=(V,A), где V={v₁, v₂, … v_s} – множество вершин, A={a₁, a₂, … a_r} – комплект направленных дуг, a_i=(v_j, v_k), 0 < i  r, v_j, v_k  V. V разбивается на два непересекающихся множества: V=PT, PT=. Для  a_i=(v_j, v_k) либо v_jP, v_kT, либо v_jT, v_kP.

Для демонстрации эквивалентности сетей Петри и их графов дадим следующее определение.

Определение. Пусть для сети Петри C=(P, T, I, O) выполняется V=PT. Определим комплект дуг A следующим образом: для p_iP, t_jT #((p_i, t_j), A) = #(p_i, I(t_j)), #((t_j, p_i), A) = #(p_i, O(t_j)). Тогда граф G сети Петри, определённый ранее, эквивалентен данной сети C.

Пример

Приведём граф сети Петри, определённой в предыдущем примере.

Р ис. 18.2. Граф сети Петри из предыдущего примера.

Конец примера

Обратное преобразование от графа к сети аналогично, но возникает задача разделения узлов графа на позиции и переходы. Так как это можно сделать двумя путями, возникают две сети, соответствующие одному графу. Если одну из них обозначить C=(P, T, I, O), вторая будет определяться как C=(T, P, I, O). Она называется двойственной к первой. Есть ещё понятие инверсной сети, она определяется как C=(P, T, O, I).

Пример

Приведём граф сети Петри, двойственной к сети из предыдущего примера.

Р ис. 18.3. Граф двойственной сети Петри.

Конец примера

Маркировка сетей Петри

Сеть Петри, как они были определены, большого интереса для моделирования систем не представляют, так как они отражают лишь статические их характеристики. Для того чтобы показать модель в динамике, вводится понятие маркировки. Маркировка определяется сопоставлением каждой позиции сети целого неотрицательного числа. Принято считать, что это число обозначает количество фишек, расположенных в этой позиции.

Определение. Маркировка  сети Петри C=(T, P, I, O) – это функция, которая отображает множество позиций во множество целых неотрицательных чисел: : PN.

Если задать порядок на множестве позиций P, маркировку можно представить как вектор =(₁, ₂, … _n), n=|P|, _iN, _i – количество фишек в позиции p_i. В общем случае количество фишек в позиции может быть неограниченным, поэтому сети может соответствовать бесконечное число маркировок. На графе сети фишки обозначаются точками в позициях. Если фишек слишком много, в позиции размещается их число.

Маркированная сеть Петри – это совокупность сети Петри C и некоторой

начальной маркировки : M=(C, ).

Пример

Маркировка сети Петри, приведённой на рис. 18.4, представлена вектором =(0,2,0,5,1).

Р ис. 18.4. Граф маркированной сети Петри.

Конец примера