9.4. Активность сетей Петри
При моделировании реальных систем с параллельными процессами возникает необходимость исследовать тупиковые ситуации, в которые могут попадать системы. Типичный пример – конкуренция за ресурсы. Пусть процессы П1 и П2 для своей работы нуждаются в общих ресурсах А и Б. Процесс П1 в процессе работы занимает ресурс А, а процесс П2 в это время занял ресурс Б. Процесс П1 для продолжения работы ждёт освобождения ресурса Б, но процесс П2 освободить его не может: для этого ему необходим ресурс А, занятый процессом П1. Так в состоянии ожидания эти процессы могут находиться вечно. Подобная ситуация называется тупиком. Особенно актуально изучение тупиковых ситуаций для операционных систем, которые распределяют ресурсы для вычислительных процессов.
Р
ис.
22.1. Модель тупика в сети Петри.
Сеть на рисунке 22.1 иллюстрирует ситуацию, в которой два процесса попадают в тупик. В терминологии сетей Петри тупик – это переход, который не может быть запущен ни в текущей маркировке, ни в любой другой, достижимой из неё. Здесь запуск перехода t1 – начало процесса П1, запуск t2 – начало процесса П2. Очевидно, что больше ни один переход не может быть запущен.
Определения. Переход называется активным, если он не может быть заблокирован. Переход называется потенциально запустимым, если существует маркировка µ′ из множества достижимых маркировок R(C, µ), в которой он разрешен. Переход активен, если он запустим в каждой маркировке, находящийся во множестве достижимых маркировок.
Рассмотрим различные уровни активности перехода.
уровень активности 0 – переход никогда не может быть запущен.
уровень активности 1 – переход потенциально запустим.
уровень активности 2 – если для каждого положительного числа n существует последовательность запусков, в которой этот переход tj присутствует не менее n раз.
уровень активности 3 – существует бесконечная последовательность запусков, в которой переход tj присутствует неограниченное число раз.
уровень активности 4 – для каждой маркировки µ′, входящей в множество достижимых маркировок, существует такая последовательность запусков , что tj разрешен в следующей маркировке (µ′, ).
Уровень 0 называется пассивным, уровень 4 называется активным уровнем, уровни 1, 2, 3 называются промежуточными.
9.5. Достижимость и покрываемость в сетях Петри
Задача достижимости состоит в том, чтобы для данной сети Петри C с начальной маркировкой µ определить, входит ли некоторая маркировка µ′ во множество достижимых маркировок R(C, µ).
Задача достижимости является одной из основных задач, связанной с анализом сетей Петри. Многие другие задачи могут быть сформулированы в терминах достижимости. В частности, определения активности сети на рис. 25.7 сводится к определению достижимости маркировки (00110000). Если она достижима, в сети есть тупик. Рассмотрим задачу о взаимном исключении. Если p и q – взаимно исключающие позиции, нужно выяснить, достижима ли маркировка µ′, для которой µ′(p)1 и µ′(q)1.
Задача нахождения заданной маркировки во множестве достижимых маркировок может быть достаточно сложной, да и не всегда необходимой. Часто рассматривается задача нахождения не маркировки µ′, а маркировки µ′′≥ µ′. В этом случае говорят о задаче покрываемости. Например, формулировка задачи о взаимном исключении в предыдущем абзаце дана в терминах покрываемости, для достижимости требовалось бы равенство.
Маркировка µ′′ покрывает маркировку µ′, если маркировка µ′′≥ µ′.
Определение задачи покрываемости. Для сети Петри C=(P, T, I, O) с начальной маркировкой µ и маркировкой µ′ из множества достижимых маркировок R(C, µ) определить, существует ли µ′′R(C, µ) такое, что µ′′≥ µ′.
В некоторых случаях задача анализа всей сети Петри оказывается слишком сложной. Тогда ставится задача анализа наиболее важной её части. В этом случае говорят о достижимости подмаркировки и покрываемости подмаркировки сети.
Если рассматривается более одной маркировки, говорят о достижимости (покрываемости) множества маркировок.