9.6. Дерево достижимости сети Петри. Алгоритм построения дерева достижимости Дерево достижимости

Дерево достижимости представляет множество достижимости сети Петри. Узлы дерева – достижимые маркировки, корень – начальная маркировка. Дуги помечаются именами переходов, которые нужно запустить для получения следующей маркировки. Маркировка, непосредственно достижимая из данной, представляется вершиной, непосредственно подчинённой данной. То есть, если ′ – достижимая маркировка, соответствующая вершине , то маркировка ′′ = (′,t_j) соответствует вершине ′, непосредственно подчинённой , дуга (,′) помечена переходом t_j. Здесь t_j  T – переход, разрешённый в маркировке ’.

Пример

Р ассмотрим маркированную сеть Петри (МСП) с начальной маркировкой (100), представленную на рис. 24.1.

Рис. 24.1. МСП для построения дерева достижимости.

Построим дерево достижимости, корнем которого будет начальная маркировка. Запуск перехода обозначается дугой дерева, полученная новая маркировка обозначается новой вершиной.

Начальная маркировка допускает переходы t₁ и t₂. Первому переходу соответствует левое поддерево, второму – правое. Полученные вершины (110) и (011) тоже допускают переходы, левая – t₁ и t₂, правая – t₃. В результате их запуска в левом поддереве появляются вершины (120) и (021), в правом – (001). Маркировка (001) уже не допускает переходов, это тупик. Вершины левого поддерева допускают переходы в левом поддереве – t₁ и t₂, в правом – t₃. Результат запуска перехода t₃ – вершина (011), которая уже встречалась в дереве, а запуск переходов t₁ и t₂ применительно к маркировке (120) даёт вершины (130) и (031) соответственно.

Р ис. 24.2. Начальные уровни дерева достижимости для МСП, представленной на рис. 1.

Это дерево бесконечно, так как бесконечно множество достижимости. Но и для конечного множества может быть бесконечное дерево. Пример этого показан на рис. 24.3.

Р ис. 24.3. МСП с конечным множеством достижимости и бесконечным деревом.

Конец примера

Исследование бесконечных деревьев представляет значительную трудность, поэтому возникает задача ограничить введение новых маркировок на каждом шаге. Действительно, по крайней мере, в двух случаях дерево ограничивается:

• маркировки, не допускающие ни одного перехода (пассивные), соответствуют терминальным вершинам;

• повторяющиеся маркировки позволяют зафиксировать вершину как терминальную: они не порождают ничего нового.

Остаётся решить, как ограничить дерево со стороны вершин с бесконечно увеличивающейся разметкой. Пусть ′ получается из  последовательностью переходов , ′ > , то есть ′ имеет дополнительные фишки в некоторых позициях. Обозначим =′-. Так как на запуск переходов дополнительные фишки не влияют, последовательность переходов  применима и к ′: ′′=′+ = +2 . При n-кратном запуске  получаем маркировку ⁽ⁿ⁾= +n . Если на i-м месте вектора  стоит число, большее 0, оно будет увеличиваться при каждом запуске  . Обозначим число, стоящее на этом месте символом  и определим для него следующие правила:

 + a = , a<;

 - a = , ;

  0 = .

Теперь вся цепочка вершин, которые различаются лишь числами, стоящими в ненулевых позициях , будет представлена одинаковыми маркировками.

Определение. Маркировку  будем называть расширенной, если в любой позиции может стоять либо целое число фишек, либо .

Каждую вершину x дерева достижимости свяжем с расширенной маркировкой [x]. Каждая вершина может относиться к одному из следующих типов:

• граничная (порождающая),

• терминальная (тупиковая),

• дублирующая,

• внутренняя.

Корень дерева соответствует начальной маркировке, это обычно граничная вершина, если исключить случай пассивной сети.