9.3. Безопасность и ограниченность сетей Петри Безопасность

Определение. Позиция p_i  P в сети Петри C=(P, T, I, O) с начальной маркировкой µ безопасна, если для каждой маркировки µR(C, µ) выполняется неравенство µ(p_i)≤1. Сеть Петри безопасна, когда каждая ее позиция безопасна.

Другими словами, позиция маркированной сети Петри безопасна, если в ней никогда не может быть больше одной фишки для любой маркировки из множества достижимых маркировок.

Безопасная сеть Петри хороша тем, что ее позицию можно реализовать одним триггером, т.е. переключателем «да», «нет», а значит можно реализовать в рамках двоичной логики. Тогда переход представляет собой событие, удовлетворяющее условию.

Если входная или выходная позиция не кратная (т.е. нет двойных стрелок), то сеть Петри, которая не безопасна, может быть переведена в эквивалентную безопасную сеть. Она будет выполнять те же самые функции, но плюс к тому она будет безопасна. Таким преобразованием мы запретим переходы, которые порождают множество фишек в какой-то из позиций.

Схема модификации сети следующая. Для каждой не кратной позиции p_i формируется новая позиция p'_i по следующим правилам:

p_iI(t_j) & p_iO(t_j)  O(t_j)p'_i;

p_iO(t_j) & p_i I(t_j)  I(t_j)p'_i.

Другими словами, если позиция p_i входит во множество входных позиций перехода t_j и не входит во множество его выходных позиций, формируем новую позицию p'_i и включаем её во множество выходных позиций перехода t_j . Аналогично, если позиция p_i входит во множество выходных позиций перехода t_j и не входит во множество его входных позиций, формируем новую позицию p'_i и включаем её во множество входных позиций перехода t_j .

Такое преобразование потенциально безопасной сети Петри переводит ее в действительно безопасное состояние.

Цель введения позиции p'_i – представить условие «позиция p_i пуста». Естественно, в начальной маркировке необходимо в p'_i поставить фишку, если в p_i нет фишки, и наоборот.

Пример

Сеть, представленная на рис. 21.1 слева, не безопасна: последовательность переходов t₁ порождает в позиции p₁ произвольно большое количество фишек, а последовательность пар переходов t₁, t₂ делает то же с позицией p₂. Сеть справа дополнена позициями p₁ и p₂, парными к p₁ и p₂. Они не дают повторно запускать переход t₁, если не запущен t₂, и t₂, если не запущен t₃ . Таким образом, сеть становится безопасной. Позиция p₃ не удовлетворяет условиям, поэтому не дополняется.

Р ис. 21.1. Преобразование не безопасной сети Петри (слева) в безопасную.

Конец примера

Ограниченность

Ограниченность – это расширение понятия безопасности на количество фишек в позиции, равное k. Если в позиции не может появиться более, чем k фишек, она называется k-безопасной или k-ограниченной.

Определение. Позиция p_iP в сети Петри C=(P, T, I, O) с начальной маркировкой µ k-безопасна, если для каждой маркировки µR(C, µ) выполняется неравенство µ(p_i)≤k. Сеть Петри безопасна, когда каждая ее позиция безопасна.

Сеть содержит число позиций n=|P|. Если каждая из позиций k-безопасна (но k у каждой своя), из этого конечного числа величин можно выбрать максимальную величину безопасности, и сеть тогда будет k безопасной, если k – это максимальная величина безопасности по этим n позициям.

Определение. Если каждая позиция p_iP в сети Петри C=(P, T, I, O) с начальной маркировкой µ k_i-безопасна и k = max(k_i), i от 1 до n=|P|, то сеть называется k-безопасной (k-ограниченной).

Безопасная сеть – это 1-безопасная сеть. Ограниченная сеть – это сеть, для которой существует такое k, что она может быть k-безопасной.

Иногда бывает важным сам факт ограниченности, вне зависимости от числа k. Такая ситуация характерна для моделирования большинства реальных систем, которые не допускают накопления бесконечного количества фишек (например, ограниченность мест хранения на складе). Тогда появление неограниченных позиций свидетельствует об ошибке в моделировании.