Деление многочленов

Пусть k записывается как k=2ⁿb_n+2^n-1b_n-1+…+2b₁+b₀, M=2^m. Представим ключ в виде многочлена k(t)=b_ntⁿ+ b_n-1t^n-1+…+b₁t+b₀ и определим остаток от деления его на многочлен c(t)=t^m+c_m-1t^m-1+…+c₁t+c₀. Этот остаток, представленный в двоичной системе, и будет значением функции h(k). Если c(t) – простой неприводимый многочлен, то при условии близких, но неравных ключей k₁  k₂ выполняется h(k₁)  h(k₂). Этот метод обладает сильным свойством рассеивания ключей.

Изложенные методы рассматривались в предположении, что k – целое положительное число. Но их несложно распространить и на символьный ключ. Достаточно лишь разбить его на отрезки достаточной длины и сложить их двоичные представления. Недостаток этого метода – он слабо чувствителен к порядку символов. Избавиться от этого недостатка позволит циклический сдвиг ключа.

8.6. Алгоритмы разрешения коллизий в перемешанных таблицах, основанные на методах внешних и внутренних цепочек Метод внешних цепочек

Для реализации метода внешних цепочек вместо ключа в строку хеш-таблицы размещается ссылка на начало линейного однонаправленного списка, в который записывается ключ и связанные с ним данные. Список располагается в памяти, внешней по отношению к таблице. При размещении элемента адресная функция указывает на строку хеш-таблицы. Если строка пуста, в нее записывается адрес начала списка, а в первое его звено помещаются данные. Если строка непуста, регистрируется коллизия, синоним записывается в очередное звено списка. При поиске ключа проверяется соответствующая строка таблицы. Если она пуста, поиск неудачен, в противном случае ключ ищется в списке.

Метод внутренних цепочек

Метод внутренних цепочек отличается тем, что список строится внутри самой хеш-таблицы. Для этого строка таблицы дополняется полем для ссылки на элемент этой же таблицы. При возникновении коллизии в таблице каким-то способом ищется свободное место, в него размещаются данные, а ссылка на это место записывается в строку, на которую указывала хеш-функция. При каждой следующей коллизии список удлиняется аналогичным образом. Этот метод имеет ту неприятную особенность, что построенные таким способом цепочки имеют тенденцию срастаться. Предположим, хеш-функция обрабатывает ключ, который не имел синонимов, но при попытке записать данные в таблицу выясняется, что там уже что-то есть. В чем дело? Оказывается, при разрешении какой-то предыдущей коллизии это место было использовано как свободное на тот момент. Тогда текущие данные запишутся в тот же список, хотя ключ и не синоним тому, который этот список породил. Итак, два независимых списка срослись, что увеличило время поиска как по первой группе синонимов, так и по второй. Этого можно избежать, переместив чужой ключ на свободное место, но такая работа требует затрат. Этот метод называется еще методом срастающихся цепочек.

9. Сети Петри

9.1. Определение и основные понятия сетей Петри. Структура, графы, маркировка Структура сетей Петри

Определение. Сеть Петри – это четвёрка C=(P, T, I, O), где P = {p₁, p₂, … p_n} – конечное множество позиций, T = {t_1, t₂, … t_m} – конечное множество переходов, PT=, I: T  P^: – входная функция, O: T  P^: – выходная функция. Входная и выходная функции отображают переходы в комплект позиций.

Позиция p_i – входная для перехода t_j, если p_i  I(t_j) и выходная, если p_i  O(t_j). Кратность входной позиции p_i для перехода t_j – это #(p_i, I(t_j)). Кратность выходной позиции p_i для перехода t_j – это #(p_i, O(t_j)).

Определение. Переход t_j – вход позиции p_i, если p_i – это выход t_j, и наоборот, t_j – выход позиции p_i, если p_i – это вход t_j.

Определение. Расширенная входная функция дополняет входную функцию следующим образом: I: P  T^, расширенная выходная функция – O: P  T ^:, причём, #(t_j, I(p_i)) = #(p_i, O(t_j)) и #(t_j, O(p_i)) = #(p_i, I(t_j)).

Если обычная входная или выходная функции отображает переходы в комплекты позиций, то в расширенной добавляется отображение позиций в комплект переходов.

Пример

Определим сеть Петри C=(P, T, I, O).

P=(p1, p2, p3, p4, p5);

T=(t1, t2, t3, t4);

Входные и выходные функции переходов:

tj	I(tj)	O(tj)
t1	{p1}	{p2, p3, p5}
t2	{p2, p3, p5}	{p5}
t3	{p3}	{p4}
t4	{p4}	{p2, p3}

Расширение входной и выходной функции:

pi	I(pi)	O(pi)
p1	{ }	{t1}
p2	{t1, t4}	{t2}
p3	{t1, t4}	{t2, t3}
p4	{t3}	{t4}
p5	{t1, t2}	{t2}

Для построения расширенной входной функции выбираются последовательно все позиции p_i  P и для них просматриваются все значения выходной функции. Если есть такие t_j, что p_i  O(t_j), они и формируют комплект I(p_i). То есть, I(p_i)={t_jT | p_i  O(t_j)}.

Конец примера

Заметим, что в определении сети Петри с расширенными функциями есть избыточность. Действительно, достаточно лишь одной, входной или выходной, функции. Доказательство эквивалентности такого определения исходному предоставляется слушателям.

В работе [2-Котов] приведено другое, но тоже эквивалентное определение сети Петри.

Определение. Сеть – это тройка (P, T, F), где

P – непустое множество элементов сети, называемое местами,

T – непустое множество элементов сети, называемое переходами,

F  PT  TP – отношение инцидентности, и для (P, T, F) выполняются следующие условия:

А1) PT=;

А2) (F) & (xP T, yP T: xFy  yFx);

А3) если для элемента сети x обозначить *x = {y | yFx} множество его входных элементов, а x* = {y | xFy} множество его выходных элементов, то

p₁, p₂ P: (*p₁=*p₂) & (p₁*=p₂*) (p₁=p₂).

Конец определения.

Понятно, что в этом определении места – это позиции, а отношение F соответствует какой-то из обобщённых функций. В некотором смысле это определение проще и строже, но мы, тем не менее, будем следовать изложению, данному в [1- Питерсон].