6. Алгебра логики. Свойства операций алгебры логики. Проблема разрешимости.

Алгебройназывается пара , где:

• – носитель, множество элементов какой-либо природы.

• – сигнатура, конечный набор операций над множеством.

Алгеброй логики (Буля) называется алгебра

Алгебра логики позволяет производить тождественные преобразования логических выражений.

Свойства операций:

• Идемпотентность:

  • 

  • 

• Коммутативность:

  • 

  • 

• Ассоциативность:

  • 

  • 

• Дистрибутивность:

  • 

  • 

• Закон де Моргана:

  • ;

  • .

• Закон двойногоотрицания:

• Свойства 1:

  • 

  • 

  • 

• Свойства 0:

  • 

  • 

  • 

Под проблемой разрешимости в алгебре логики понимается проблема разработки эффективного алгоритма, способного указать является ли произвольная формула тождественно истинной, тождественно ложной или не принадлежащей ни к одному из этих классов. В общем смысле эта задача разрешима с помощью таблиц истинности.

Таблица истинностипредставляет собой таблицу, устанавливающую соответствие между возможными значениями наборов переменных и значениями операции. Таблицы истинности логических операций позволяют определить значение, которые они принимают при различных значениях переменных, сравнивать операции между собой, определять, удовлетворяют ли операции заданным свойствам.

7. Формальное (аксиоматическое) определение исчисления высказываний (алфавит, формула, аксиомы и правила вывода).

Формальная (аксиоматическая) теория ℒсчитается определенной, если выполнены следующие условия:

1. Задано некоторое счетное множество символов теории, названное алфавитом. Конечные последовательности символов алфавита называются выражениями теории.

2. Имеется подмножество выражений теории, называемых формулами (обычно имеется эффективная процедура, позволяющая определить, является ли выражение формулой).

3. Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории (чаще всего также имеется возможность выяснить является ли данная формула аксиомой).

4. Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода. Если формула A находится в отношении с некоторыми формулами _, то называется непосредственным следствием из этих формул по правилу .

Выводомв ℒназывается всякая последовательность формул , такая что любая формула есть либо аксиома теории ℒ, либо непосредственное следование каких либо предыдущих формул по одному из правил вывода.

Формула теории ℒназывается теоремой теории ℒ, если существует вывод в ℒ, в котором последней формулой является .

Формальное определение исчисления высказываний (по Гильберту):

1. Алфавит – список первичных понятий.

1. Большие латинские буквы – простые высказывания.

2. знаки – дизъюнкция и отрицание (простые операции над высказываниями).

3. ( , ) – знаки пунктуации.

1. Правила образования формул

   1. все простые высказывания – суть формулы.

   2. если и – формулы, то – формула.

   3. еслиA – формула, то – формула.

2. Аксиомы вывода( )).

A1:

A2:

A3:

A4:

4. Правила вывода

• Правило подстановки ( если A – выводимая формула в исчислении высказываний, и всюду в этой формуле вместо некоторой переменной в A произвести подстановку другой выводимой формулы, то новая формула тоже выводима.

• Правило заключения: (Modusponens : (если и формула выводимы, то - выводима).

8. Суперпозиция булевых функций. Функционально полные системы функций. Критерий полноты. Базис.

Функции, которые определены на логических переменных и принимают значения 0 или 1 называются логическими или булевыми: .

Пусть дана системабулевых функций с произвольным числом аргументов . Функция являетсясуперпозицией системы , если:

1. получили из путем переименования переменных;

2. получили из путем постановки вместо некоторых переменных функций из ;

3. получена конечным числом применения пунктов 1 и 2.

Система функций называется замкнутой, если любая подстановка из функций данной системы дает новую функцию,которая также принадлежит этой системе.

Система логических функций F называется полной, если все остальные логические функции могут бытьпредставлены с помощью формул через суперпозицию функции этой системы F.

Классы функций замкнутые относительно подстановки:

• – класс функций,сохраняющий константу 0:

• – класс функций, сохраняющих константу 1: .

• – класс линейных функций (функций представимых полиномом Жегалкина первой степени:

)

• – класс монотонных функций: при

• – класс самодвойственных функций: .

Критерий Поста-Яблонского. Система полна тогда и только тогда, когда она по совокупности не принадлежит ни одному из замкнутых классов .

Базисомили базисным набором логических функций называется такая полная система функций, что удаление из нее хотя бы одной логической функции нарушает свойство полноты.

Логические базисы:

• аддитивный: ;

• конъюнктивный: ;

• импликативный: ;

• импликативный: ;

• Жегалкина: ;

• Шеффера:

• Веба: .