Позиционные задачи

Позиционными называются задачи на определение общих элементов геометрических фигур.

Вспомогательные задачи

З а д а ч а 1. Определить точку пересечения прямой с проецирующей плоскостью (рис. 35).

Рис. 35.

З а д а ч а 2. Определить линию пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью (рис. 36).

Рис. 36

Основные позиционные задачи

З а д а ч а 1. Определить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения (классическая задача начертательной геометрии) (рис. 37).

Рис. 37.

Алгоритм решения задачи:

1. Заключаем данную прямую в плоскость

(MN) P;

2. Строим линию пересечения заданной и проведенной плоскостей

(I –II) = (ABC) ∩ P;

3. Определяем искомую точку встречи К(k, k′ ), как пересечение данной и построенной прямой K = (MN) ∩ (I –II).

З а д а ч а 2. Определить линию пересечения двух плоскостей общего положения (рис. 38).

Рис. 38.

После нахождения линии пересечения двух плоскостей определяем взаимную видимость данных образов методом конкурирующих точек.

Универсальный способ построения линии пересечения

двух плоскостей

применяется в том случае, когда плоскости общего положения заданы в неявном виде (рис. 39).

Рис. 39

Для решения задачи вводим вспомогательные плоскости – посредники P и Q ( следы PV и QV).

Задачи

22. Найти точку пересечения прямой (MN)

1) c плоскостью ( ABC); 2) с плоскостью P [(AB) ║ CD)]; установить взаимную видимость геометрических образов (рис. 40).

Рис. 40.

23. Построить линию пересечения двух плоскостей и определить и определить взаимную видимость данных фигур (рис. 41).

Рис. 41.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

В качестве таких прямых на эпюре в плоскости общего положения выбирают горизонталь и фронталь.

В начертательной геометрии для реализации этого положения применяется следующая теорема:

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Пусть прямая (MN) перпендикулярна плоскости треугольника (ABC)

(MN) ┴ (ABC)

Запишем к этому условию приведенную теорему в виде «формул»:

(mn) ┴ h

(m′ n′) ┴ f ′, где

h — горизонтальная проекция горизонтали плоскости,

f — фронтальная проекция фронтали плоскости.

Этими же «формулами» можно пользоваться для построения плоскости общего положения, перпендикулярной прямой общего положения. Плоскость в этом случае задают двумя пересекающимися прямыми — горизонталью и фронталью.

Задачи

24. Определить расстояние от точки М 1) до плоскости ( ABC); 2) до плоскости P [(AB) ║ CD)]. Установить взаимную видимость данных и построенных фигур ( рис. (42).

Рис. 42.

25. Определить расстояние от точки М до плоскости (ABC). Установить видимость на эпюре (рис. 43).

26. Построить множество точек, равноудаленных от концов отрезка [AB] (рис. 44).

Рис. 43. Рис. 44.