Краткие сведения о проекциях

Основным методом начертательной геометрии является метод проекций. Проекции подразделяются на: центральные и параллельные. В аппарат центрального проецирования входит: центр проекций (или точка зрения, или «глаз»), объект проецирования (или оригинал), плоскость проекций. Если оригиналом является точка, то ее центральной проекцией является точка пересечения проецирующего луча, проведенного из центра проекций в эту точку, с плоскостью проекций.

Если точку зрения отнести в бесконечность в каком –либо направлении, то проецирующие лучи, проходящие через нее и точки оригинала, становятся параллельными, а центральные проекции преобразуются в параллельные. В этом случае аппарат проецирования будет состоять из следующих компонентов: направление проецирования, оригинал, плоскость проекций.

Основные свойства параллельных проекций:

1) свойство инцидентности (принадлежности): если точка принадлежит прямой — проекция точки принадлежит проекции этой прямой;

2) одноименные проекции параллельных прямых параллельны;

3) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

4) отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, равно отношению их проекций.

Другие свойства параллельных проекций вытекают из вышеперечисленных. Аналитическое доказательство этих свойств можно найти в учебной литературе.

Эпюр Монжа

Рис. 1.

Плоскость V остается неподвижной, плоскость H вращается против часовой стрелки до совпадения с плоскостью V. Таким образом, ортогональные проекции оригинала (объекта проецирования) располагаются на одной плоскости — плоскости чертежа. Изображение, которое получается в результате совмещения плоскостей, называется эпюром Монжа (рис. 1).

H — горизонтальная плоскость проекций;

V — фронтальная плоскость проекций;

V/H — система плоскостей проекций, где V ┴ H

(.) а — горизонтальная проекция точки А;

(.) а′— фронтальная проекция точки А;

(.) ах — проекция точки А на ось х

Свойства эпюра Монжа:

1) обратимость;

2) удобоизмеримость;

3) две проекции точки лежат на прямой, перпендикулярной оси проекций, которая называется линией связи.

Точка и прямая Задачи

1. Построить проекции точек по их координатам X, Y, Z. Охарактеризовать положение точек относительно плоскостей проекций. Изобразить наглядно положение каждой из этих точек в изометрии. A (70, 15, 20); B (55, 25, 0); С (45, 0, 0); D (30, 5, 25); E (15, 0, 10) (рис. 2).

Рис. 2.

2. Построить проекции точки В, расположенной на 20 мм дальше от плоскости Н и на 10 мм ближе к плоскости V, чем данная точка А (рис. 3).

Рис. 3.

3. По заданной фронтальной проекции точки А построить ее горизонтальную и профильную проекции, если точка А расположена вдвое дальше от плоскости проекций H, чем от плоскости V (рис. 4).

Рис. 4.

4. Заданы точки A, B, C, D. Построить:

точку E, расположенную под точкой A на 15 мм;

точку N, расположенную над точкой B на 20 мм;

точку M, расположенную за точкой C на 10 мм;

точку E, расположенную перед точкой D на 5 мм. (рис. 5).

Рис. 5.

5. Дан куб своими проекциями к с точкой A внутри (рис. 6). Построить точки, симметричные точке A :

1) B — относительно нижней грани;

2) C — относительно передней грани;

3) D — относительно правой грани ;

4) E — относительно правого переднего ребра;

5) F — относительно левого нижнего ребра;

6) K — относительно левой передней верхней вершины;

7) L — относительно диагональной плоскости, проходящей через переднее верхнее и заднее нижнее ребра.

Рис. 6.

6. Найти положение горизонтальной оси проекций (рис. 7).

Рис. 7.