47.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение1. График дифференциальной функции y=f(x) наз. выпуклым в интервале (а,в), если он расположен ниже любой её касательной на этом интервале. График дифференциальной функции y=f(x) наз. вогнутым в интервале (а,в), если он расположен выше ниже любой её касательной на этом интервале.

Определение2. Точка (Х₀, f(X₀), Х₀ D(y) графика непрерывной ф-ции y=f(x), отделяя её выпуклую(вогнутую) часть от вогнутой(выпуклой) наз. её точкой перегиба.

50.Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Определение1. Функция F(x) наз. первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве Х, если для любого х Х выполняется равенство: F'(x)=f(x).

Определение2. Множество F(x) + C всех первообразной функции f(x) на множестве Х наз. неопределённым интегралом и обозначается:

Нахождение первообразной для данной функции f(x) наз. интегрированием функции f(x).

Теорема. Для всякой непрерывной на интервале (а,в) функции f(x) существует на этом промежутке первообразная, а значит и неопределённый интеграл.

Геометрический неопределённый интеграл представляет собой семейство кривых, зависимых от одного параметра С, который получает одна из другой путём параллельного сдвига вдоль оси Оу.

Свойства:

1)(

2)

3)

4)

5)Если

6)Если

Таблица основных неопределённых интегралов:

1. x + C	6. x dx = ax / ln a +C	11. 1+x2 dx = arctg x +C
2. n dx= xn+1/n+1 + C	7.	12.
3. = + C	8.	13.
4. = ln	9. cos2x dx = tg x +C	14.
5. x dx = ex +C	10. 2x dx = -ctg x +C	15.

51.Метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрирование наз. интегрирование с помощью свойств 3,4 и 6 тождественно при образовании подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.

52.Метод поднесения под знак дифференциала.

задача свелась к нахождению интеграла , которые либо уже табличные, либо легко свести к таблице.

53.Метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям:

54.Основные типы простейших рациональных дробей.

1) А/х-а 4)Ax+B/x²+px+q

2) А/(х-а)^к 5) Ax+B/(x²+px+q)^k

3) А/х²+рх+q

57.Интегрирование тригонометрических выражений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

1)Интеграл вида: приводит к интегрированию от рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки: . В результате получим: 2t/1+t², 1-t²/1+t²)*2dt/1+t²

2)Интеграл вида: ^{m n} находят:

а) при нечётной n: t=sinx

б) при нечётной m: t=cosx

в) если m и n чётные: sinx*cosx=1/2sin2x sin²x=1/2(1-cos2x) cos²x=1/2(1+cos2x)

58.Свойства определённого интеграла.

1)

2)

3)

4)

5)

6)если

7) если

8) если f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и для этого отрезка имеет место неравенство m

59.Методы вычисления определённого интеграла.

1) Формула Ньютона-Лейбница:

2) Замена переменной: а)

б)

3) Интеграл по частям:

4)

60.Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

70.Экстремум функции двух переменных.

Теорема1. (необходимое условие сущ. экстремума)

Если ф-ция z=f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет локал экстремума, то в этой точке обе част. Производные, если они существуют, =0 или котя бы 1 из них в этой точке не существует.

Точки, которых част. производное 1-порядка = 0, наз. стационарным. Стационарные точки и точки в которых, хотя бы 1 частное производное не сущ. наз. критическими.

Равенство нулю частного производного яв. необходимым, но не достаточным условием сущ. экстремума. Для нахождения экстремума нужно каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема2. (достаточное условие сущ. экстремума)

Пусть (х₀, у₀) – критическая точка, принадлежащая области определения функции z = f (x, y) и А=Z^”_хх(х_0, у₀), В=Z^»_xy(х_0, у₀), C= Z^»_yy(х_0, у₀).

Обозначим: =АС – В²

Тогда: 1)если >0, то функция z = f(x, y) имеет в точке (х₀, у₀) экстремум: max, если А 0, min, если А 0.

2)если функция z = f(x, y) имеет в точке (х₀, у₀) экстремума не имеет.

3)если экстремум в точке (х₀, у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.