31. Определение предела функции в конечной точке и на бесконечности.
Пусть функция y=f(x) определена в промежутке (-;+).
Определение.
Число
А
наз.
Пределом функции y=f(x)
при x,
если >0
существует такое число М>0,
зависящее от ,
что при всех х, таких что
выполняется
.
Геометрический смысл: при бесконечно больших значениях аргумента х график функции y=f(x) имеет свое горизонтальной асимптотой параллельную оси Ох прямую y=A, т.е. неограниченно близко приближается к этой прямой.
32. Основные теоремы о пределах.
Теорема.
Если
и
C-const,
то:
1)
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
При применении этой теоремы необходимо иметь в виду, что для любого не нулевого числа С справедливо:
1) С 0=0;
2) C 0=C;
3)
;
4)
;
5) C =;
6) C ± =;
7)
=
0;
8)
;
9) 0 0=0;
10) ;
11) n=, nN.
А
если условие этой теоремы не выполняются,
то могут возникнуть неопределённости
вида
которые в простейших случаях раскрываются
с помощью алгебраических преобразований
данного выражения и отыскание предела
в таких случаях наз. раскрытием
неопределённостей.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
Это равенство можно понимать так: вычисление любого предела нужно начинать с непосредственной подстановки предельного значения, и если нет неопределённости, сразу записать ответ.
При нахождении пределов полезно иметь в виду следующие свойство показательной функции:
33.Первый и второй замечательные пределы
Замечательными ( в виду большого числа их применений) наз. => два предела:
Первый
применяется
для распределения неопределённого вида
%, при вычислении приделов содержащих
тригонометрические функции.
Второй
1/х
= е
применяется
для раскрытия неопределённого вида
1∞.
35.Определение производной функции в точке.
Определение
Производной
функции у=f(x) в точке Х0
наз. предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к 0, если этот предел
существует, т.е. у’=
.
Функция у=f(x), имеющая производную в каждой точке на промежутке Ч, наз. дифференцируемой на этом промежутке, операция нахождения производной наз. дифференцированием.
Теорема Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
37.Уравнение касательной к графику функции у = f(x)в точке (x0, y0).
Угловой коэфф. Касательной равен : k = f ' (x0).
Уравнение касательной y – y0 = f’ (x0)(x-x0)
38.Правила дифференцирования.
Теорема1
(u
v)’
= u’
v’.
Теорема2 (u * v)’ = u’v + uv’
Теорема3
(
) ‘ =
u’v
– uv’
/ v2
, v
40.Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента u = u(x) (таблица производных).
-
1. ( C )’ = 0
9. (cos u)’ = - sin u * u’
2. (u n)’ = n*un-1 * u’
10. (tg u)’ = 1/cos2u * u’
3. (
u)’
= 1/2
u
* u’11. (ctg u)’ = -1/sin2u * u’
4. (au)’ = au * ln a * u’
12. (arcsin u)’ = 1/
2
*
u’5. (eu)’ = eu * u’
13.(arcos u)’ = -1/ 2 * u’
6. (loga u)’ = 1/u*ln a *u’
14.(arctg u)’ = 1/1+u2 * u’
7. (ln u)’ = 1/u * u’
15. (arcctg u)’ = -1/1+u2 * u’
8. (sin u)’ = cos u * u’