10.1. Прохождение частиц через потенциальный барьер

Рис. 10.1

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U₀ и ширины l (рис. 10.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (W _.> U₀), частица беспрепятственно проходит над барьером. Если же W меньше U₀, то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. В квантовой механике с помощью уравнения Шредингера определяется коэффициент прозрачности потенциального барьера D, который равен отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Для рассматриваемой задачи находят следующее выражение:

_(10.1)

_И

Рис. 10.2

з записанного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера _{l и от U0 – W. Например, при m = me, U0 – W = 10 эВ, l = 10}^-10 _{м D ~ 0,36. Если же m = me, U0 – W = 10 эВ, l = 10}^-2 _м, В первом случае вероятность проникновения частицы через барьер большая, во втором – ничтожно мала.

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 10.2) формула (10.1) должна быть заменена более общей формулой:

_{При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.}

_{С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, находящаяся в туннеле, должна обладать отрицательной кинетической энергией. Однако туннельный эффект – явление квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс. Аналогично, тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. А координата и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. Таким образом, хотя полная энергия частицы W имеет вполне определенные значения, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Wк и U. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности кинетической энергии внутри туннеля становится беспочвенным.}

10.2. Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона в классической и квантовой механике

Представим себе, что электрон в атоме движется со скоростью v по орбите радиуса r (рис. 10.3). Как любая движущая частица, электрон обладает моментом импульса _{, который равен произведению момента инерции на угловую скорость:}

_.

_{Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежит орбита электрона, а его модуль}

Рис. 10.3

_{Движущийся по орбите электрон создает электрический ток, сила которого}

_{, где - период обращения электрона вокруг ядра.}

_{Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, характеризуется магнитным моментом . Направление вектора связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 10.3). Модуль магнитного момента равен произведению силы тока на площадь контура S :}

_{Так как S = πr}²_{, получаем .}

_{Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту , т. е. к ее моменту импульса, называют гиромагнитным отношением. Для электрона на орбите это отношение равно}

_.

_{Так как векторы и антипараллельны, справедливо равенство}

_.

_{В квантовой механике (из-за наличия волновых свойств) модуль орбитального момента импульса принимает дискретные значения. Используя уравнение Щредингера можно показать, что}

_,

_{где l – орбитальное квантовое число, которое может принимать следующие значения:}

l = 0, 1, 2, … , n – 1.

Проекция этой физической величины на направление поля в пространстве определяется формулой:

_{где магнитное квантовое число ml принимает значения:}

_{ml = 0, ±1, ±2 … , ± l .}

_{Равенство и запрещено соотношениями неопределенностей. Действительно, если бы выполнилось равенство отмеченных величин, произведение неопределенностей координаты и импульса в направлении поля (оси z) было бы равно 0.}

В квантовой механике определенные значения имеют _{и . Проекции на другие направления остаются неопределенными. Учитывая сказанное, вектор орбитального момента импульса можно представить как вектор, который равномерно вращается вокруг оси z, образуя с этой осью угол θ (рис. 10.4а), определяемый соотношением}

_{При заданном значении l ml может принимать (2l + 1) значение.}

Рис. 10.4

_{Например, при l = 1, , а Llz = 0, ± 1 (рис. 10.4б).}

_{Магнитный момент электрона, обусловленный орбитальным движением, , а его проекция на направление поля , где - магнетон Бора.}