4.1. Условие неразрывности потока жидкости

Течение жидкости принято изображать с помощью линий тока – это линии, в каждой точке которых векторы скоростей _{частиц жидкости направлены по касательной к ним. Для стационарного течения жидкости скорости ее частиц со временем не изменяются, и поэтому расположение линий тока также остается постоянным (рис. 4.1а).}

Рис. 4.1

_{В этих условиях удобно ввести понятие трубки тока. Для этого в плоскости, перпендикулярной к линиям тока, выделяют внутри жидкости замкнутый контур и проводят через его точки линии тока, они и будут ограничивать объем жидкости, называемый трубкой тока (рис. 4.1а).}

_{Жидкость, заключенная внутри трубки тока, течет, не выходя за его пределы, перемешивание жидкости соседних трубок отсутствует. Причем для идеальной жидкости отсутствует и внутреннее трение между соседними трубками тока, а также и стенками трубы, по которой она течет.}

_{Для несжимаемой жидкости (ее плотность во всех точках одинакова и не зависит от времени)} в условиях стационарного течения за равные промежутки времени через сечения 1 и2 трубки тока пройдет одинаковые объемы жидкостей (V₁ = V₂ ; S₁v₁∆t = S₂v₂∆t, рис. 4.1б), что приводит к выполнению условия неразрывности потока жидкости:

S₁v₁ = S₂v₂. (4.1)

4.2. Уравнение Бернулли

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости по трубке тока. Под действием сил давления _{действующих внутри жидкостей, большой объем V, находящийся между сечениями 1 и 2 будет перемещаться и через малый промежуток времени займет положение между сечениями 1}^' _{и 2}^' ₍рис. 4.1б). В условиях стационарного течения жидкости изменение энергии выделенного большого объема _V будет связано только с изменением энергий, происходящих в малых объемах V₁ и V₂.

Изменение кинетической энергии этих объемов V₁ и V₂ определяется работой сил тяжести и сил давления, действующих на выделенные объемы со стороны соседних слоев жидкости. Причем работу совершают только силы давления _{и .}

_{Учитывая незначительность объемов} V₁ и V₂, можно записать:

_{Введем в это уравнение плотность жидкости (ρ = m1/V1 = m2/V2 , m1 = m2,} V₁ = V₂) и давление, оказываемое жидкостью на сечения 1 и 2^' объемов V₁ и V₂ (p₁ =F₁/S₁, p₂ = F₂/S₂). После несложных преобразований получим:

_{С учетом произвольности выбираемого объема и сечения в трубке тока окончательно можно записать следующее уравнение:}

_(4.2)

_{которое получило название уравнения Бернулли.}

_{Отдельные слагаемые в уравнении Бернулли имеют размерность давления. Принято называть давление ρv}²_{/2 – динамическим, ρgh – гидростатическим, давление р – статическим.}

_{Уравнение Бернулли справедливо для любых точек внутри жидкости, расположенных вдоль определенной линии тока. При переходе от одной линии тока к дугой изменяются значения постоянной.}

4.3. Сила внутреннего трения

_{Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникающее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.}

Рис. 4.2

_{Рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружаются две параллельные друг другу пластины (рис. 4.2) на расстоянии d друг от друга. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v0 . Для перемещения верхней пластины со скоростью v0 на нее необходимо действовать с постоянной силой Раз пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой трения}

_{Изменяя скорость v0 , площадь пластин S , расстояние между ними d , можно получить, что}

_(4.3)

_{где η – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа).}

_{При движении верхней пластины на нижнюю будет действовать сила Чтобы нижняя пластина была неподвижна, силу необходимо уравновешивать с помощью силы .}

_{Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин, между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (4.3). Это взаимодействие осуществляется через жидкость, расположенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому.}

_{Если в любом месте зазора жидкости провести мысленно плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует с силой , а часть жидкости, лежащей под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащей над плоскостью с силой причем значения и} определяются формулой (4,3).

Таким образом, можно утверждать, что формула (4.3) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z , перпендикулярно к пластинам (рис. 4.2) по линейному закону

_(4.4)

_{Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Согласно (4.4) v/z = v0/d и}

_{. (4.5)}

_{Используя (4.5), формуле (4.3) можно придать вид}

_(4.6)

_{- коэффициент вязкости. Он зависит от температуры. Но характер зависимости различен для жидкостей и газов. У жидкостей η сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в характере поведения η при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.}