2.3. Центр масс. Закон сохранения импульса

_{Под центром масс системы тел понимают точку в пространстве, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором :}

_(2.6)

_{где – сумма масс тел (м.т.) системы; – радиус-вектор i - го тела (м.т.) системы.}

Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массой m, то оно будет двигаться со скоростью _:

_{а (2.7)}

Производная от _{по времени}

(2.8)

Если система является замкнутой, или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться.

В замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной:

(2.9)

2.4. Кинетическая энергия. Работа. Мощность

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы, на которую действует сила _{. Напишем уравнение движения этой частицы:}

_{(v << c).}

Умножив левую и правую части уравнения на перемещение _{, получим:}

_или

_,

_{, (2.10)}

_{где Т – кинетическая энергия тела, – приращение кинетической энергии, а}

_{, (2.11)}

_{работа силы при элементарном перемещении. Формула утверждает, что работа силы идет на приращении кинетической энергии тела. Если на тело действует совокупность сил и перемещение тела осуществляется на конечную величину, то работа всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:}

_{А = Т2 – Т1.}

_{Работу силы за единицу времени называют мощностью. Мгновенная мощность}

_(2.12)

2.5. Потенциальная энергия

_{Потенциальной энергией можно характеризовать систему тел только в том случае, если между телами этой системы взаимодействие осуществляется посредством консервативных сил. Силы называют консервативными, если работа этих сил не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и определяется только начальным и конечным положением тала. Для консервативных сил работ на любом замкнутом пути равна нулю. Консервативными силами являются: силы тяготения, силы упругости, электростатические силы взаимодействия.}

_{Силы, не удовлетворяющие отмеченному выше свойству, называют диссипативными силами. Сила трения – это диссипативная сила.}

_{Назовем определенное расположение тел в пространстве} конфигурацией этой системы. Каждой конфигурации соответствует свое значение потенциальной энергии U. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Изменение конфигурации (взаимного расположения тел) приводит к изменению потенциальной энергии системы. Увеличение потенциальной энергии системы можно осуществить только посредством положительной работы внешних сил. Работа же внутренних (консервативных) сил приводит к убыли потенциальной энергии. Работа консервативных сил при бесконечно малом изменении конфигурации является полным дифференциалом функции U:

dA = – dU. (2.13)

Работа консервативных сил при изменения конфигурации системы тел:

А = – ∆U = U₁ – U₂.

Зная вид функции U(x,y,z), можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Рассмотрим перемещение частицы в произвольном направлении. Такое перемещение сопровождается совершением над частицей работы _{В направлении оси х сила совершит работу . Согласно (2.13) та же работа может быть представлена как убыль потенциальной энергии: Откуда}

_{Для компонент силы по осям y и z получаются аналогичные выражения. Таким образом,}

_{, ,}

_{Зная компоненты, можно найти вектор силы:}

_{Выражение, стоящее в скобках, обозначим символом}

_(2.14)

_{и назовем градиентом потенциальной энергии.}

_{Таким образом}

_(2.15)

_{Градиент потенциальной энергии это вектор, модуль который равен консервативной силе, действующей на тело. Этот вектор указывает направление в котором потенциальная энергия увеличивается с наибольшей скоростью.}

Можно показать, что в замкнутой консервативной системе полная механическая энергия, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, сохраняется:

Е = Т + U = const, (2.16)

т.е. в замкнутой консервативной системе механическая энергия не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой (закон сохранения механической энергии).

Лекция 3