
- •Часть 1. Механика. Электричество и магнетизм. Колебания
- •1.1. Механика. Материальная точка. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки
- •1.2. Кинематика вращательного движения
- •1.3. Динамика движения материальной точки. Законы Ньютона
- •2.1. Закон всемирного тяготения. Сила тяготения, сила тяжести, вес тела
- •2.2. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •2.3. Центр масс. Закон сохранения импульса
- •2.4. Кинетическая энергия. Работа. Мощность
- •2.5. Потенциальная энергия
- •3.1. Вращательное движение твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера
- •3.2. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •3.3. Основное уравнение динамики вращательного движения
- •3.4. Силы трения. Статическое и кинематическое трение
- •Кинематическое трение
- •4.1. Условие неразрывности потока жидкости
- •4.2. Уравнение Бернулли
- •4.3. Сила внутреннего трения
- •4.4. Ламинарное и турбулентное течение
- •4.5. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
- •4.6. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца
- •Никакими физическими опытами, находясь внутри исо, нельзя установить, движется она равномерно и прямолинейно или покоится;
- •Все законы физики выглядят, записываются одинаково во всех исо;
- •Все физические явления протекают одинаково во всех исо;
- •5.1. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.2. Релятивистские выражения массы и импульса тела
- •5.3. Релятивистское выражение для энергии
- •6.1. Электрические заряды. Закон Кулона
- •6.2. Потенциальная энергия. Потенциал. Работа сил электрического поля
- •6.3. Напряженность поля. Принцип суперпозиции полей
- •6.4. Связь между потенциалом и напряженностью
- •6.5. Графическое изображение электростатических полей
- •7.1. Поток и циркуляция вектора электростатического поля.
- •7 .2. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей
- •7.3. Электрическое поле в диэлектрике
- •8.1. Поле заряженного проводника
- •8.2. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора
- •8.3. Энергия заряженного тела, конденсатора. Энергия электрического поля
- •8.4. Сила и плотность тока. Законы Ома и Джоуля – Ленца
- •8.5. Электродвижущая сила. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •8.6. Правила Кирхгофа
- •9.1. Магнитное поле. Закон Био – Савара – Лапласа
- •9.2. Сила Лоренца. Закон Ампера
- •9.3. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции и теорема Гаусса для вектора
- •9.4. Магнитное поле в веществе
- •10.1. Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции
- •10.2. Токи Фуко
- •10.3. Явления самоиндукции и взаимоиндукции
- •10.4. Второе уравнение Максвелла в интегральной форма. Ток смещения
- •10.5. Уравнения Максвелла
- •11.1. Гармонические колебания
- •11.2. Сложение гармонических колебаний
- •1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
- •12.1. Затухающие колебания
- •12.2. Вынужденные колебания
- •12.3. Вынужденные колебания в цепи переменного тока
- •12.4. Мощность в цепи переменного тока
- •1. Векторы и скаляры
- •3. Циркуляция и поток вектора .
- •Библиографический список
4.6. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца
Созданная Эйнштейном в 1905 г. специальная теория относительности представляет собой физическую теорию пространства и времени. Основу этой теории образуют два постулата, которые носят названия принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света.
Приведем несколько эквивалентных формулировок принципа относительности Эйнштейна:
Никакими физическими опытами, находясь внутри исо, нельзя установить, движется она равномерно и прямолинейно или покоится;
Все законы физики выглядят, записываются одинаково во всех исо;
Все физические явления протекают одинаково во всех исо;
все законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Согласно второму постулату специальной теории относительности скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от движения источника и приемника света.
С помощью постулатов Эйнштейна можно показать, что координаты и время в разных системах отсчета связаны следующими соотношениями:
Переход из К' в К: Переход из К в К':
y = y' y' = y
z = z' z' = z
,
где β = v/c – относительная скорость. Записанные соотношения называют преобразованиями Лоренца. Преобразования Лоренца – это более общие, по отношению к преобразованиям Галилея, преобразования. Преобразования Лоренца справедливы для любых скоростей движения, а преобразования Галилея только для малых (v << c).
Лекция 5
5.1. Следствия из преобразований Лоренца
Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 происходят одновременно два события в момент времени t1 = t2 = b. В соответствии с преобразованиями Лоренца в системе К' этим событиям будут соответствовать моменты времени
.
Из данных формул видно, что в случае, если события в системе К пространственно разобщены (х1 ≠ х2), то в системе К' они не будут одновременными (t1' ≠ t2'). Знак разности t2' – t1' определяется знаком выражения (β/c)(x1 – x2); следовательно, в разных системах К' (при разных β) разность t2' – t1' будет различна по величине и может отличаться по знаку. Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Заметим, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь.
Продолжительность явления. Пусть в одной и той же точке с координатой х' = а системы К' происходит явление, которое начнется в момент времени t1' и закончится в момент времени t2'. Согласно преобразований Лоренца этим событиям соответствуют в системе К моменты времени
Отсюда
Введя обозначение t2 – t1 = ∆t и t2' – t1' = ∆t' , получим формулу
(5.1)
которая связывает промежутки времени между двумя событиями, измеренные в системах К и К'. Допустим, что оба события происходят с одной и той же частицей, которая покоится в системе К' и движется относительно системы К со скоростью v . Тогда ∆t' можно трактовать как промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы, или, иными словами, измеренный по часам, движущимся вместе с частицей. Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственное время этого тела и обозначается буквой τ. Таким образом, ∆t' = τ. С учетом этого формуле (5.1) можно придать вид
(5.2)
Длина тел в разных системах. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы отсчета К' (рис. 5.1). Длина его в этой системе l0 = x2'- x1', где х1' и х2' – не изменяющиеся со временем t' координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется со скоростью v. Для определения его длины в этой системе нужно отметить координаты концов стержня х1 и х2 в один и тот же момент времени t1= t2 = b. Их разность l = x2 – x1 дает длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти соотношения между l0 и l, следует взять ту из формул преобразований Лоренца, которая содержит х', х и t.
Рис. 5.1
откуда
или
(5.3)
Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется, оказывается меньше длины l0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.
Заметим, что в направлении осей y и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета. Итак, у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это явление называют лоренцевым сокращением.
Релятивистский закон сложения скоростей.
Пусть вдоль совпадающих осей Ох и О'х' систем отсчета К и К' в их положительном направлении с постоянной скоростью движется тело. Проекция вектора скорости тела на координатные оси в СОК и К' соответственно равны:
СОК': u' = u'x = dx'/dt', u'y = 0, u'z = 0;
СОК: u = ux = dx/dt, uy = 0, uz = 0.
Необходимо найти формулы связи между u и u'; в данном случае между ux и u'x. Для этого в преобразованиях Лоренца возьмем бесконечно малые приращения координат и времени:
Итак,
(5.4)
Аналогично можно получить обратную формулу связи
(5.5)
Формулы (5.4) и (5.5) представляют собой закон сложения скоростей в релятивистской механике. При малых скоростях движения тел (v << c) эти формулы переходят в закон сложения скоростей классической механики.
Из закона сложения скоростей следует, что скорость движения тел не может быть больше скорости света в вакууме. Приведем в подтверждение этому факту пример.
Пусть световой сигнал в СОК' распространяется вдоль оси О'х', т. е. u' х = с. Тогда согласно формуле (5.4)
Что и должно было получиться.