4 Побудова математичної моделі формоутворюючої системи верстата

Структура математичної моделі формоутворюючої системи верстата включає:

1. координатний код системи;

2. функцію формоутворення;

3. сукупність оброблюваних поверхонь.

Координатний код - упорядкований перелік символів узагальнених координат переміщень верстата. Цей код характеризує ФС верстата. Перемножуючи матриці перетворення координат відповідно до координатного коду та домножуючи добуток цих матриць на матрицю-вектор різального інструменту, отримуємо функцію формоутворення (ФФ).

Відносний рух ланок ФС може бути приведений у вигляді числа К:

де К_і (і=1...n) – позначення руху і-ї ланки ФС відносно (і-1);

n=6 – кількість ступенів вільності.

Для токарно-гвинторізного верстата (ТГВ) нульвою ланкою (і=0) є оброблювана деталь зі шпинделем. Наступна ланка (і=1) – станина. Оскільки нульова ланка завжди вважається нерухомою, то у відносному русі стани7на обертається навколо осі z₀ у напрямку, оберненому напрямку обертання шпинделя. Цьому руху відповідає цифра 6, тобто К₁=6. Аналогічно, поступальний поздовжній рух супорта відносно станини здійснюється вздовж осі z₁, тобто К₂=3. Поперечний рух супорта здійснюється вздовж осі х₁, звідси К₃=1. Таким чином, координатний код ФС ТГВ: К=631.

Аналогічну залежність, що пов‘язує переміщення ланок ФС із траекторією руху точок різального інструменту (РІ) відносно оброблюваної деталі, буде називатись функцією формоутворення.

Рівняння ФФ:

,

де А_{0, l} – одна з шести матриць, що описує обертовий або поступальний рух системи S_i вздовж однієї з осей S_i-1 (поступальним переміщенням відповідають матриці А¹, А², А³, обертальним – матриці А⁴, А⁵, А⁶).

Рівняння ФС ТГВ:

,

де - матриця обертання навколо осі 0z;

- матриці переміщень вздовж осей 0z, 0x;

r₃ – радіус-вектор формоутворюючих точок РІ.

Підставляємо значення матриць та отримаємо:

Позначимо r₀=(x₀, y₀, z₀, 1)^т, r₃=(x₃, y₃, z₃, 1)^т, та отримаємо:

Остаточно приймаємо:

ФФ являє собою рівняння оброблюваної поверхні в тому випадку, коли вона має у правій частині дві незалежні змінні, то виконується умова:

де r_u, r_v – частинні похідні вектор-функції за змінними u та v.

;

де .

Враховуючи загальну кількість рухомих ланок у системі, кількість ланок, які виконують рухи формоутворення та кількість незалежних змінних (m<2) запишемо рівняння () у вигляді:

,

де q₁, q₂,…,q_n+m – змінні.

Рівняння конкретної оброблюваної поверхні отримаємо, приєднавши до виразу L-зв’язків, які у загальному випадку можуть бути записані у вигляді системи зв’язків:

У системі з (n+m) змінних повинні залишитись дві незалежні, тобто повинна бути виконана умова зв’язності:

.

Рисунок 4.1 – Формоутворююча система ТГВ

Усі L зв’язків, що є у верстаті при обробці визначеної поверхні, складаються із зв’язків огинання (L_огин), прихованих зв’язків (L_ск) та функціональних зв’язків (L_функ):

Формоутворюючі можливості верстата залежать від типу РІ та комбінації ланок верстата. Сумарну кількість схем обробки S підраховують за формулою

,

де М – кількість типів РІ на верстаті;

а_і – кількість заборонених між рухами формоутворення при обробці і-тим типом РІ (а_і≥1):

де а_max – максимальна кількість варіантів зв’язків;

а_з – кількість заборонених у даній схемі формоутворення зв’язків.

Виконаємо аналіз ФС ТГВ. На даному верстаті передбачено три рухи формоутворення (n=3). Можлива обробка трьома видами РІ: різець точковий (m=0); профільним різцем (m=1) та стержневим лезовим інструментом (m=1), тобто М=3.

Функція формоутворення:

.

Схеми формоутворення отримаємо, перебираючи різні види РІ, тобто задаючи значення вектора r₃ та зв’язки між рухами.

1. Обробка точковим різцем.

Для точкового інструмента радіус-вектор РІ:

.

Кінцева матриця

.

Проаналізуємо зв’язки, що існують при обробці РІ.

1. Зв’язок огинання.

При однопараметричному огинанні зв’язок має виглід рівності нулю змішаного добутку трьох векторів частинних похідних вектора r₀:

де - три різні переміщення із числа q₁, q₂,…,q_n+m, що входять в праву частину.

У кожному випадку відповідно θ, x, z. Отримаємо частинні похідні:

.

Таким чином, зв’язок огинання відсутній L₀₂=0.

2. Прихований зв’язок.

При дублюванні однакових рухів різними механізмами верстата або при співпаданні согинаючої сімейства миттєвих положеннь поверхні РІ із самою поверхнею утворюються приховані зв’язки між узагальненими координатами ФС. Фізично такий зв’язок відповідає присутності “зайвого” руху, без якого процес формоуворення все одно був би можливим.

Формальним показником прихованих зв’язків є наявність частинних похідних вектора r₀ по виразу:

Тобто L_ск=0.

3. Функціональні зв’язки.

.

Таким чином на три рухи формоутворення прикладається один функціональний зв’язок. Для цього випадку число варіантів L_ф=7. У верстаті не можна зупинити головний рух, тобто число зв’язків а₃=1. Тобто при обробці точковим інструментом можливі шість схем обробки:

.

Таблиця 4.1 – Поверхні, які оброблюються на ТГВ точковим РІ

Оброблювана поверхня	Зв’язок	Параметричні рівняння оброблюваної поверхні	Фізичний зміст параметра
Циліндр прямий	x=0.5D		D – діаметр циліндра
Торцьова поверхня	z=c		с – відстань від торця до початку координат
Поверхня обертання з заданою твірною	x=f(z)		f(z) – поточний радіус поверхні обертання на відстані z від початку координат
Кулачок з прямолінійною твірною	x=ρ(θ)		ρ(θ) – радіус кулачка
Гвинтова поверхня	z=z(θ)		Якщо z(θ)=ρ(θ), то ρ – гвинтовий параметр
Довільна поверхня	z=z(x, θ)		-

2. Обробка профільним різцем.

Різальна частина у даному випадку – лінія (m=1), яка лежить в площині xOz. Вираз для радіус-ветора r₃ має вигляд:

.

Модель формутворюючої системи має вигляд:

де S₁, S₂ – відрізки, які лежать справа зліва від точки О₂ (рисунок 4.2).

Фізично S – це координата, яка відраховується вздовж леза інструмента; φ – кут між різальною кромкою і віссю Oz.

Рисунок 4.2 – Геометрична модель лезвійного інструменту

Знайдемо частинні похідні:

Для визначення зв’язку огинання знайдемо похідні трьох частинних похідних:

Тобто зв’язок огинання відсутній L_огин=0.

Для визначення прихованих зв’язків знайдемо похідні пар частинних похідних:

Оскільки , то змінні θ, x, z завжди охоплені приованими зв’язком, тобто L_ск=1.

Тоді кількість функціональних звязків:

,

тобто у верстаті є функціональний зв’язок. Максимльно можливо 7 варіантів накладання одного функціонального зв’язку на три змінні, причому з них повинен бути виключений варіант, зупиняючий головний рух. Однак завадяки нявності четвертої змінної число варіантів збільшується: в деяких схемах може бути додано рух по дотичній до профіля різця. Крім того, можлива також обробка поверхні, яка задається зв’язком: .

Таким чином, при обробці фасонним різцем максимальне число варіантів 9 (з них два варіанти схеми, обумовлені прихованим зв’язком: рух подачі по осі z можна зупинити, а можна зберегти, вводячи, наприклад, по осі z з метою поліпшення якості поверхні).

Таблиця 4.2 – Поверхні, які оброблюються на ТГВ профільним РІ

Поверхня	Рівняння функціонального зв’язку	Реалізація прихованого зв’язку	Характеристика РІ
			Форма профілю	Розташування різального леза
Поверхня обертання з довільною твірною	x=const	z=const	Співпадає з профілем твірної	Довільне
Циліндр прямий коловий	x=const	Рух вздовж Oz залишається	Прямолінійна	Паралельно осі z
Конус прямий коловий			Прямолінійна	Повернута θ
Площина торцьова	z=const	Рух вздовж Oz залишається	Прямолінійна	Паралельно осі х
Гвинтова з довільною твірною (в тому числі архімедова спіраль)		x=const	Співпадає з профілем гвинтової поверхні в осьовому перерізі	Довільне
Архімедова гвинтова поверхня			Прямолінійна	Повернута θ
Кулачок з довільною твірною		z=const	Співпадає з профілем твірної кулачка	Довільне
Кулачок з прямолінійною твірною		Рух вздовж х залишається	Прямолінійна	Паралельно осі х

3. Обробка стержневим інструментом.

На ТГВ стержневий інструмент кріпиться в здній бабці верстата. Різальна кромка – лінія (m=1), кількість рухів формоутворення – два (n=2).

Функція формоутворення має вигляд: .

- радіус-вектор РІ.

Знайдемо частинні похідні:

.

Проаналізуємо зв’язок огинання:

Таким чином L_огин=0.

Визначаємо наявність прихованих зв’язків:

.

Оскільки один з множників рівний нулю, то існує прихований зв’язок, тобто L_ск=1. В даному випадку функціонального зв’язку немає:

.

Таким чином можлива одна схема обробки а₃=1.

Наведений перелік не охоплює усіх схем формоутворення на ТГВ.

Наприклад, можлива обробка архімедових черв’яків різцем, встановленим в площині xOz. Через це ми можемо вдовольнитися оцінкою нижньої межі кількості схем обробки за формулою:

.