Приклад виконання завдання
Розглянемо приклад виконання завдання для таких вихідних даних:
Порядковий номер місяця,
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Обсяг переробки вантажів , тис.т. |
10,3 |
14,3 |
7,7 |
15,8 |
14,4 |
16,7 |
15,3 |
20,2 |
17,1 |
7,5 |
15,5 |
16,5 |
Розв’язок.
Приклад побудови прогнозної моделі за методом ковзної середньої наведений в таблиці 1.2. Згладжування обсягів переробки вантажів виконано три- (m = 3) і п’ятичленними (m = 5) ковзними середніми. Значення для періоду t = 12 (для m = 3) та періодів t =11 та t = 12 (для m = 5) розраховувались за формулою (1.3), а для (t + τ) = (12 + 1) ... (12 + 3) – за формулою (1.5). У другому стовпчику таблиці через дріб наведені екстрапольовані дані про значення показника за межею області спостережень (чисельник – тричленна ковзна середня, знаменник – п’ятичленна ковзна середня).
Таблиця 1.2 – Розрахунки прогнозу методом ковзної середньої
Місяці року t |
Обсяги переробки вантажів уt , тис.т. |
m = 3 |
m = 5 |
||||
сума |
|
|
сума |
|
|
||
1 |
10,3 |
– |
– |
– |
– |
– |
|
2 |
14,3 |
32,3 |
10,8 |
12,25 |
– |
– |
|
3 |
7,7 |
37,8 |
12,6 |
24,01 |
62,5 |
12,5 |
23,0 |
4 |
15,8 |
37,9 |
12,6 |
10,89 |
68,9 |
13,8 |
4,0 |
5 |
14,4 |
44,6 |
15,6 |
1,44 |
69,9 |
14,0 |
0,16 |
6 |
16,7 |
47,8 |
15,5 |
1,44 |
82,4 |
16,5 |
0,04 |
7 |
15,3 |
52,2 |
17,4 |
0,92 |
83,7 |
16,7 |
1,96 |
8 |
20,2 |
52,6 |
17,5 |
7,29 |
76,8 |
15,4 |
23,0 |
9 |
17,1 |
44,8 |
14,9 |
4,84 |
76,5 |
15,1 |
4,0 |
10 |
7,5 |
40,1 |
13,4 |
34,81 |
76,8 |
15,4 |
62,4 |
11 |
15,5 |
39,5 |
13,2 |
5,29 |
– |
11,1 |
19,4 |
12 |
16,5 |
– |
13,0 |
12,25 |
– |
10,1 |
40,9 |
13 (τ = 1) |
13,0 / 10,1 |
– |
14,8 |
– |
– |
8,08 |
– |
14 (τ = 2) |
14,8 / 8,08 |
– |
14,6 |
– |
– |
6,28 |
– |
15 (τ = 3) |
14,6 / 6,28 |
– |
14,0 |
– |
– |
6,04 |
– |
|
|
|
|
115,43 |
|
|
178,97 |
За результатами розрахунків будуємо графіки вихідного динамічного ряду та згладжених при m = 3 та m = 5 (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Згладжування часового ряду тричленною та п’ятичленною ковзною середньою
Розраховуємо похибку прогнозу:
для тричленної ковзної середньої
; 
;
для п’ятичленної ковзної середньої
; 
.
Побудову прогнозної моделі за методом експоненціального згладжування проводимо у наведеній нижче послідовності.
Лінійна функція прогнозу.
1. Визначаємо константу згладжування :
тут т – кількість точок (рівнів) ряду динаміки.
2. Для першої точки (t = 1) приймаємо значення змінної згладжування відповідно першого і другого порядку:
.
3. Розраховуємо експоненціальні середні для другої точки (t = 2) за формулами:
4. обчислюємо коефіцієнти а0(t) і а1(t) для другої точки (t = 2):
5.
Визначаємо прогнозне значення
для другої точки (
= 1):
.
6.
Аналогічно обчислюємо
,
,
коефіцієнти а0(3)
і а1(3), прогнозне
значення
і т. д. до кінцевого періоду t = 12.
Результати розрахунків наведені в
таблиці 1.3.
Таблиця 1.3 – Розрахунки прогнозу методом експоненціального згладжування (лінійна функція прогнозу)
Місяці року t |
Обсяги переробки вантажів уt , тис.т. |
|
|
|
|
|
|
1 |
10,3 |
10,30 |
10,30 |
– |
– |
– |
– |
2 |
14,3 |
10,92 |
10,39 |
11,44 |
0,09 |
11,53 |
7,66 |
3 |
7,7 |
10,42 |
10,40 |
10,44 |
0,00 |
10,45 |
7,54 |
4 |
15,8 |
11,25 |
10,53 |
11,97 |
0,13 |
12,10 |
13,69 |
5 |
14,4 |
11,73 |
10,72 |
12,75 |
0,19 |
12,94 |
2,13 |
6 |
16,7 |
12,50 |
10,99 |
14,01 |
0,27 |
14,28 |
5,84 |
7 |
15,3 |
12,93 |
11,29 |
14,57 |
0,30 |
14,87 |
0,18 |
8 |
20,2 |
14,05 |
11,71 |
16,39 |
0,43 |
16,81 |
11,48 |
9 |
17,1 |
14,52 |
12,15 |
16,89 |
0,43 |
17,33 |
0,05 |
10 |
7,5 |
13,44 |
12,35 |
14,53 |
0,20 |
14,73 |
52,29 |
11 |
15,5 |
13,76 |
12,56 |
14,95 |
0,22 |
15,17 |
0,11 |
12 |
16,5 |
14,18 |
12,81 |
15,55 |
0,25 |
15,79 |
0,50 |
13 (τ = 1) |
15,79 |
14,43 |
13,06 |
15,79 |
0,25 |
16,04 |
– |
14 (τ = 2) |
16,04 |
14,68 |
13,31 |
16,04 |
0,25 |
16,29 |
– |
15 (τ = 3) |
16,29 |
14,92 |
13,56 |
16,29 |
0,25 |
16,54 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
101,49 |
7.
Для періоду t = 13 (
= 1) приймаємо
.
Далі розраховуємо
,
,
коефіцієнти а0(13)
і а1(13), прогнозне
значення
.
Аналогічним чином діємо для рівнів t
= 14 та t = 15.
8. Розраховуємо стандартну похибку часового ряду
;
9. Розраховуємо похибку прогнозу
=
1,19 .
Квадратична функція прогнозу.
1. Для першої точки (t = 1) приймаємо значення змінної згладжування відповідно першого, другого і третього порядку:
.
2. Розраховуємо експоненціальні середні для другої точки (t = 2) за формулами:
3. обчислюємо коефіцієнти а0(t) і а1(t) для другої точки (t = 2):
4. Визначаємо прогнозне значення для другої точки ( = 1):
.
5.
Аналогічно обчислюємо
,
,
коефіцієнти
а0(3), а1(3)
і а2(3), прогнозне
значення
і т. д. до кінцевого періоду t = 12.
Результати розрахунків наведені в
таблиці 1.4.
Таблиця 1.3 – Розрахунки прогнозу методом експоненціального згладжування (квадратична функція прогнозу)
Місяці року t |
Обсяги переробки вантажів уt , тис.т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10,3 |
10,3 |
10,3 |
10,3 |
– |
– |
– |
– |
– |
2 |
14,3 |
10,92 |
10,39 |
10,31 |
11,88 |
0,26 |
0,01 |
12,15 |
4,63 |
3 |
7,7 |
10,42 |
10,40 |
10,33 |
10,39 |
-0,01 |
0,00 |
10,38 |
7,17 |
4 |
15,8 |
11,25 |
10,53 |
10,36 |
12,52 |
0,34 |
0,02 |
12,87 |
8,61 |
5 |
14,4 |
11,73 |
10,72 |
10,41 |
13,47 |
0,46 |
0,02 |
13,94 |
0,21 |
6 |
16,7 |
12,50 |
10,99 |
10,50 |
15,03 |
0,66 |
0,03 |
15,71 |
0,98 |
7 |
15,3 |
12,93 |
11,29 |
10,62 |
15,55 |
0,67 |
0,03 |
16,23 |
0,87 |
8 |
20,2 |
14,05 |
11,71 |
10,79 |
17,80 |
0,96 |
0,05 |
18,79 |
2,00 |
9 |
17,1 |
14,52 |
12,15 |
11,00 |
18,12 |
0,90 |
0,04 |
19,04 |
3,76 |
10 |
7,5 |
13,44 |
12,35 |
11,21 |
14,49 |
0,18 |
0,00 |
14,67 |
51,39 |
11 |
15,5 |
13,76 |
12,56 |
11,42 |
15,00 |
0,24 |
0,00 |
15,23 |
0,07 |
12 |
16,5 |
14,18 |
12,81 |
11,63 |
15,73 |
0,32 |
0,01 |
16,06 |
0,20 |
13 (τ = 1) |
16,06 |
14,47 |
13,07 |
11,85 |
16,06 |
0,33 |
0,01 |
16,39 |
– |
14 (τ = 2) |
16,39 |
14,76 |
13,33 |
12,08 |
16,39 |
0,33 |
0,01 |
16,72 |
– |
15 (τ = 3) |
16,72 |
15,07 |
13,60 |
12,31 |
16,72 |
0,34 |
0,01 |
17,06 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79,9 |
6.
Для періоду t = 13 (
= 1) приймаємо
.
Далі розраховуємо
,
,
,
коефіцієнти а0(13),
а1(13) та а2(13),
прогнозне значення
.
Аналогічним чином діємо для рівнів t
= 14 та t = 15.
7. Розраховуємо стандартну похибку часового ряду
;
8. Розраховуємо похибку прогнозу
.
За результатами розрахунків будуємо графіки вихідного динамічного ряду та згладжених для лінійної та квадратичної функції прогнозу за методом експоненціального згладжування (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Згладжування часового ряду за методом експоненціального згладжування