Дисперсия случайной величины и ее свойства

На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным.

Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

Доказательство. Действительно, учитывая, что – постоянная величина, имеем:

Такой характеристикой степени рассеяния случайной величины является дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина имеет закон распределения , то .

Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.

Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Если – постоянная величина, то и, следовательно, . Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат .

Доказательство. Если – постоянный множитель, а – случайная величина, то – тоже случайная величина, математическое ожидание которой . Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем:

.

Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: .

Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать:

Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. Поскольку , следовательно:

,

где – так называемый корреляционный момент величин и . Если случайные величины и независимы, то случайные величины и , очевидно, также независимы, поэтому:

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то .

Доказательство.

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .

Пример. Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

	4	10	20
	0.25	0.5	0.25

Определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратичное отклонение .

Решение:

.

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.