18. Средняя гармоническая величина
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. В зависимости от формы представления исходных данных средняя гармоническая может быть рассчитана как простая и как взвешенная.
При работе со сгруппированными данными используется средняя гармоническая взвешенная.
Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной. Средняя гармоническая взвешенная используется в тех случаях, когда известен числитель исходного соотношения средней, но не известен знаменатель.
Если известен ряд вариант (х) и ряд произведений вариант на частоту (xf = M), а сама частота (f) неизвестна, расчет средней производится по средней гармонической взвешенной:
Если исходные данные несгруппированны, то применяется средняя гармоническая простая. Средняя гармоническая простая используется при М = const:
Среднюю гармоническую простую называют еще средней из обратных значений признаков.
С помощью гармонической средней в статистике определяется средний % выполнения плана (по данным фактического выполнения плана), средние затраты времени на выполнение операций (по данным о средних затратах времени на одну операцию и общее время работы по отдельным работникам) и т.д.
19. Структурные средние (мода и медиана)
Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.
Мода (Мо) – это наиболее часто повторяющаяся величина признака (варианта), т.е. признак с наибольшей частотой. По сгруппированным данным мода определяется по формуле:
,
где Х0 – нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой); i – величина модального интервала; fМо, fМо-1, fМо+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.
Медиана (Me)
– это
величина, которая делит ранжированный
ряда пополам. Для определения медианы
сначала находят ее место в ряду по
формуле
,
где n
– число членов ряда (
).
Если число единиц чётное, то место
медианы в ряду определяется как
.
По сгруппированным данным:
,
по несгруппированным:
,
где ХМе
– нижняя граница медианного интервала;
i
– величина
интервала;
– сумма всех частот;
– сумма частот, предшествующего
медианному интервалу;
–
частота медианного интервала.
Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины. Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.
Мода и медиана широкого применяются при статистических методах контроля качества продукции, при оценке качества передачи информации, надежности работы средств труда.
20. Общее понятие о вариации признака
Вариация признака – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Колебания отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Различают вариацию признака: случайную и систематическую.
Систематическая вариация помогает оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.
Для всех показателей вариации общим является следующие:
• если показатель вариации близко к нулю (т.е. индивидуальные значения признака мало отличаются друг от друга), то средняя арифметическая будет достаточно показательной (надежной) характеристикой данной совокупности;
• если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием (величина показателя вариации сильно отличается от нуля, является большой), то средняя арифметическая будет ненадежной и ее практическое применение будет ограничено.
Анализ систем вариации позволяет оценить степень зависимости различий значений признака от влияющих на них факторов, например, можно оценить, является ли однородной совокупность, т.е. характерна ли для нее исчисленная средняя.