5. . Кездейсоқ шамалар

_{1. Кездейсоқ шамалар ұғымы. Сынау нәтижесінде қандай да бір мүмкін мәнді қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама дейміз. Сынау нәтижесінде қабылдаған мүмкін мәндерін жекелеп, айыра санауға болатын болса, онда мұндай шамаларды дискретті кездейсоқ шамалар дейміз. Кездейсоқ шамаларды X,Y… әріптермен, ал олардың қабылдайтын мүмкін мәндерін х1,х2,х3..., у1,у2,у3..., арқылы белгілейміз. Кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру заңы делінедхі. Бұл заң кесте, график және формула түрінде беріледі.}

_{Үлестіру заңының кестесі}

Кездейсоқ шама мәндері	Х	x1	x2	x3	…	xn
Кездейсоқ шама мәніне сәйкес ықтималдық	Р(Х=xi )=pi	p1	p2	p3	…	pn

_{2)Үлестіру заңының графиті. Кездейсоқ шама үлестіруін график түрінде былай көрсетеді. Ол үшін абцисса өсі бойына сәйкес ықтималдықтың р1 мәндерін салып табылған нүктелерді түзу арқылы қосып үлестірудің көпбұрышын аламыз.}

3)Үлестіру заңының формуласы

_{а) сәйкес ықтималдықтар}

_{(k<n) формуласы бойынша анықталынса, онда кездейсоқ шама Бернулли заңы бойынша үлестірімді деп аталады. ә) сәйкес ықтималдықтар (n=1,2,3 …) формуласы бойынша анықталынса, онда кездейсоқ шама Пуассон заңы бойынша үлестірімді деп аталады, б) сәйкес ықтималдықтар формуласымен анықталынса, онда кездейсоқ шама геометриялық үлестірімді делінеді.}

5. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

_{Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тың математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтады, оны М(х) арқылы белгілейміз}

_{Егер Х шамасы шексіз х1,х2,х3...хn… мәндерін сәйкес р1,р2,р3...,рn…}

_{(p1+p2+p3…+pn+…=1) ықтималдықтарымен қабылдаса және қатары абсолютті жинақты болса, онда}

_{Математикалық күтімінің қасиеттері: 1. М(С)=С,С=const; 2. М(СХ)=СМ(Х); 3. М(Х+У)=М(Х) + М(У)}

_{4. М(Х-У)=М(Х) - М(У)}

_{Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және орташа квадраттық ауытқуы}

_{Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия деп атайды, оны былай белгілейміз}

_{Дисперсияның қасиеттері: 1. D(C)=0, C=const 2. D(X+Y)= D(X) +D(Y)}

_{3. D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)}

_{4. D (CX)=C}² _D(X)

_{тендігімен анықталатын шаманы орташа квадраттық ауытқу деп, ал орташа квадраттық ауытқудың математикалық күтімге қатынасын вариация коэффициенті деп атайды.}

_{1 мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6 тең.}

_{Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 пайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесінің, алған пай санының М(Х), D(X), және анықтау керек.}

_{Шешуі: Х арқылы пай санын белгілейік. Сонда: х1=0, х2=5, х3=10,х4=15 мүмкін мәндері болады. Ықтималдықтарды Бернулли формуласы бойынша табамыз:}

_{Сонда, X кездейсоқ шамасының үлестіру кестесі мынадай болады:}

X	0	5	10	15	∑
Pi	0,064	0,288	0,432	0,216	1,00

_{M(X) = 0 * 0,064 + 5 * 0,288 + 10* 0,432 + 15 * 0,216 = 9;}

_{D(X) = M(X – M(X))}² _{= M(X – 9)}² _{= (0 – 9)}² _{*0,064 + (5 – 9)}² _{*0,288 +}

_{+ (10-9)}² _{* 0,432 + (15 – 9)}² _{* 0,216 = 81* 0,064 + 16 * 0,288 + 1* 0,432 +}

_{+ 36 * 0,216 = 18. Олай болса,}

4. Үздіксіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың қабылайтын мүмкін мәндерін жекелеп, айырып сануға келмей белгілі бір аралықты біртұтас толтырып жатса, онда мұндай шамалары үздіксіз кездейсоқ шама дейміз.

Анықтама. X кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы (үлестірудің интегралдық фунциясы) F(X) дегеніміз, X шамасының х – тен кіші мән қабылдау ықтималдығы, яғни

теңдігімен анықталады.

Үлестіру функциясының қасиеттері:

1⁰. 0 ≤ F(X) ≤ 1; 2⁰. x₁ < x₂ F(x₁) ≤ F(x₂);

3⁰. P(a < X < b) = F(b) – F)a); 4⁰. P(X = x₁) = 0;

5⁰. P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b);

6⁰. X € (a,b), онда x ≤ a болса, F(x) = 0; x ≥ b болса, F (x) = 1.

Анықтама. Егер Х кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы F(x)-тің туныдысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының үлестіру тығыздығы деп атайды және оны f(x) арқылы белгілейді.

f(x)=F^/(x)

үлестіру тығыздығының (дифференциалдық функцияның) қасиеттері:

1⁰. ; 2⁰. ;

3⁰. ;

үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін

; ;

Бұл формулардағы интегралдар бар болады және меншіксіз интегралдар абсолютті жинақты деп түсінеміз.

Ы

x<,a,

a≤x≤b,

x>b

қтималдықтар тығыздығы

тендігімен анықталатын X кезедейсоқ шамасын бірқалыпты үлестірімді деп атайды. Мұнда: үлестіру функциясы

Ы

x≤a,

a<x<b,

x≥b

қтималдық тығыздығы

мұндағы a, нақты параметрлер, тендігімен анықталатын X кездейсоқ шамасын қалыпты үлестірімді деп атайды.

Мұнда:

Ф(x)= Лаплас функциясы.

Ықтималдық тығыздығы

мұндағы параметр, тендігімен анықталатын Х кездейсоқ шамасын көрсеткіштік заң бойынша үлестірімді деп атайды.

М

x<0,

x≥

ұнда:

2 мысал. Кездейсоқ шама Х ықтималдық тығыздығы

x<0,

0≤x≤2,

x>2

арқылы берілген. Кездейсоқ шаманың M(x), D(x) және σ(х) табу керек.

Шешімі:

3 мысал. Қалыпты үлестірімді кездейсоқ шаманың математикалық күтімі а=40, дисперсиясы . Кездейсоқ шаманың (30;80) интервалында жатуының ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Мұнда

Сонда

(Лаплас функциясының кестесі қолданылады).