2.7 Моменттер, асимметрия және экцесс

к-ретті алғашқы момент Х-дискретті кездейсоқ шама үшін

ал үздіксіз кездейсоқ шама үшін

формулаларымен анықталады.

Сонда болады, оны деп белгілейміз.

к-ретті центрлік момент Х дискретті кездейсоқ шама үшін

ал, үздіксіз кездейсоқ шама үшін

формуласымен анықталады. Сонда болады.

Алғашқы және центрлік моменттердің арасында мынадай байланыстар бар:

,

Егер кездейсоқ шама байланысты симметриялы үлестірілсе, онда .

қатынасын асимметрия, ал тендігімен анықталатын шаманы экцесс деп атайды ( - орташа квадраттық ауытқу).

2.8 Үлкен сандар заңы

Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз n кездейсоқ шамалардың әрбіреуінің математикалық күтімі бірдей санына тең болса және олардың дисперсиясы бір тұрақты С санымен шектелсе, онда оң таңбалы тұрақты аз сан қандай болсын жағдайда олардың арифметикалық ортасы тұрақты -ға ұмтылуы ықтималдығын бірге жуық сенімділікпен мақұлдаймыз, яғни

Бұл формула

Чебышев теңсіздігінен алынады.

Бернулли теоремасы. Егер әрбір тәуелсіз сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты р тең болса, онда сынау саны n мейлінше үлкен болғанда ( ) А – оқиғасының салыстырмалы жиілігі ықтималдың р-ден қандай да бір оң таңбалы аз сан -нен үлкен болмауын бірге жуық ықтималдықпен мақұлдаймыз, яғни

Бұл формула

Чебышев теңсіздігінен алынады.

4 мысал. Металл тенге 1000 рет лақтырылады. «Герб» жағының шығу жиілігі оның пайда болу ықтималдығы -ден 0,1 санынан артық болмау ықтималдығын төменнен бағалау керек.

Шешімі: Мұнда формуланы пайдаланып:

Сонда «герб» жағының шығуы (400;600) интервалында жату ықтималдығы 0,975-тен көп болады екен.

5 мысал. 100 тәуелсіз сынау нәтижесінде кездейсоқ шаманың мәндері белгілі және оның M(x)=10, D(x)=1 болсын. Сынау нәтижесінде алынған мәндердің арифметикалық ортасы /100-ның математикалық күтімімен айырмашылығының абсолют шамасы - ден кіші болу ықтималдығын төменнен бағалау керек.

Шешімі: Мұнда

1. формуланы пайдаланып ізделінді ықтималдықтың төменнен бағалауын табамыз

6 мысал. n=5, p=1/3 болғанда ықтималдықтардың биномалдық орналасуын құрау керек.

Шешімі: Алдымен 1 кестені құрайық және есептеулердің нәтижесін бойынша графигын саламыз. m мәндері 0,1,2,3,4,5. Бернулли формуласы бойынша ықтималдықтарды есептейміз.

m
0
1
2
3
4
5

P_{m,n 80/243}

0 1 2 3 4 5 m

1-сурет

1-суретте ықтималдықтардың орналасуы көп бұрыштар арқылы көрсетілген. Егер сынаулар қайталанатын болса, онда Муавр-Лаплас локальдік формуласын қолданған тиімді:

Муавр-Лаплас теоремасы. Егер сынау саны өте көп болғанда байланыссыз п сынаулардың А оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдығы жуықтан теңдеуімен анықталады.

7 мысал. Оқтың нысанаға бір рет мылтықтан атқандағы тура тиюінің ықтималдығы Р=0,4. Енді 600 рет атқан кездегі оқтың нысанаға 250 рет тура тиюінің ықтималдығы қандай?

Шешуі.

Ескерту: φ(х)-мәні таблица бойынша анықталады. Кейбір есептерде оқиғаның белгілі бір шектер аралығындағы ықтималдығын табу керек. Ықтималдықтың қосу теоремасы бойынша

түрінде есептеледі. Мұндай жағдайда Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы: егер сынау саны көп болса, онда байланыссыз п сынау кезінде А оқиғасы m₁ және m₂ аралығында орындалатындағының ықтималдығы жуықтап:

теңдеулерімен есептелінеді.

8 мысал. 100 жаңа туған бұзаудың 45-тен 55-ке дейінгі аралықтағысы еркек бұзау екендігінің ықтималдығын табу керек. Егер еркек бұзаудың тууының ықтималдығы 0,5 болса.

Шешімі:

Ф(х) - функциясы тақ функция, сондықтан Ф(-х)= - Ф(х) болады, ал мәндерін кесте бойынша аламыз.

Егер А оқиғасының орындалатындығы m₁=np-r, және m₂=np+r аралығында болса, онда:

яғни

_{(5) формула бойынша оқиғаның жиілігімен (m/n) ықтималдығының (р) айырымының (ауытқуының) абсолют мәні n байланыссыз сынауларда өте аз оң шамадан (ε) аспайды дегеннің ықтималдығы қандай:}

_.

_{9 мысал. Дүкенге барған адамның 36 нөмерлі етік алу ықтималдығы 0,3. Енді 500 адамның қанша бөлігі 36-шы етік алады дегеннің ықтималдығы 0,3-тан ε=0,04- қана ғана ауытқуының ықтималдығы қандай?}

_{Шешімі.}

яғни 500 сатып алушылардың белгілі бір бөлігі 0,26 және 0,34 аралығында ықтималдығы 0,9488.

10 мысал. Байланыссыз әр оқиғаның болуының ықтималдығы 0,5. Енді ықтималдығы 0,7698 болған кезде жиіліктері мен ықтималдықтың айырымының (ауытқуы) абсолют мәні 0,02-ден артпайтын кездегі сынау санын n-ді табу керек.

Шешімі:

кесте бойынша Ф(х)-мәні Ф(1,2)=0,3849, .

Жауабы: n=900.