
- •А.Б. Аруова , л.Қ. Дюсембаева
- •Есептер жинағы астана 2013
- •Мазмұны
- •I бөлім. Комбинаторика
- •Қосынды және көбейтінді ережелері
- •Алмастырулар
- •Қайталанбайтын орналастырулар
- •Қайталанбайтын терулер
- •Қайталанбалы орналастырулар
- •Қайталанбалы терулер
- •Қайталанбалы алмастырулар, мультижиындар
- •2.1. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары
- •Жаттығуға берілген есептер
- •2.2. Толық ықтималдықтың формуласы
- •2.3. Байес формуласы
- •2.4. Байланыссыз қайталанатын сынау
- •. Кездейсоқ шамалар
- •3)Үлестіру заңының формуласы
- •Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
- •2.7 Моменттер, асимметрия және экцесс
- •2.8 Үлкен сандар заңы
- •III бөлім. Есептер
- •Жаттығуға берілген есептер.
- •Қорытынды
- •Пайдаланған әдебиеттер
- •А.Б.Аруова , л.Қ. Дюсембаева
2.3. Байес формуласы
Ықтималдықтарды көбейту теоремасы және толық ықтималдықтық формуласының салдары ретінде Бейес формуласы деп аталатын формуланы келтіріп шығарайық.
Толық
жиын құратын өзара үйлесімсіз H1
,H2,…,Hn
оқиғалары берілген. H1
,H2,…,Hn
оқиғалар болжам, гипотеза деп те аталады.
Бұл гипотезалардың тәжірибеге дейінгі
ықтималдықтары белгілі болып, олар
сәйкес
сандарына тең болсын. Тәжірибе жүргізіліп,
оның нәтижесінде қандай да А оқиғасы
жүзеге асты делік. А оқиғасының пайда
болуына байланысты болжам ықтималдықтары
қалай өзгереді, соны қарастырайық.
Басқаша
айтқанда:
,
шартты ықтималдықтарды табайық.
Ықтималдықдарды көбейту теоремасы бойынша:
Бұдан
,
немесе
Мұндағы P(A)-ны толық ықтималдықтың формуласымен алмастырайық:
Бұл формула Байес формуласы деп аталады.
3 мысал. Екі атқыш бір-біріне тәуелсіз бір нысанаға әрқайсысы бір реттен атады. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8 , реттен екіншісікі 0,4. Ату таусылғаннан кейін нысанада бір тесік табылған (А оқиғасы). Осы тесіктің бірінші атқышқа тиісті болу ықтималдылығын табайық.
Шешімі: Тәжірибеге дейін мынадай гипотелазалар болуы мүмкін: Н1 ̶ бірінші атқыштікі де, екінші атқыштікі де тимейді: Н2 ̶ екі атқыштікіде тиеді; біріншінікі тиеді, екіншінікі тимейді;
Оқиғалардың
толық тобын құрайтын
бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың
біреуі А оқиғасынан орындалатын болса.
Онда А оқиғасының ықтималдығы:
формуласымен
анықталады, мұнда Р(В1А),...
бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың
ықтималдығы
теңдеулермен
анықталады.
4 мысал. Складта әр заводтан келген магнитофондар бар.
№1-ден – 12, №2 – 20, №3 – 18. №1-ден келген магнитофондардың сапасы өте жоғары екендігінің ықтималдығы 0,9, №2, №3-тікі Р(В2)=0,6 және Р(В3)=0,9.
Складтан алынған магнитофонның сапасы өте жоғары екендігінің ықтималдығын табыңдар.
Шешуі:
А-ден алынған заттың сапасы өте жоғары
екендігінің оқиғасы.
-
№1, №2, №3
заводтарындағы жасалған заттар.
-бір-бірімен
байланыссыз оқиғалар А оқиғасының
орындалуы болып саналады.
(
)
–
№1 заводта
жасалған магнитофонның сапасы өте
жоғары екендігін көрсетеді):
Р(
)=Р(
)·Рв(А),
Р(
)=Р(
)·Рв(А),
Р(
)=Р(
)·Рв(А).
Жауабы: Р(А)=0,78.
2.4. Байланыссыз қайталанатын сынау
Егер А оқиғасының ықтималдығы әр сынаудың нәтижесінде байланыссыз болса, онда ондай сынауларды А оқиғасына қарағанда бір-бірімен байланыссыз сынаулар деп атаймыз.
Есептің шарты: n байланыссыз сынаудың нәтижесінде А оқиғасы m рет пайда болады дегеннің ықтималдығын табу керек, егер әр сынауда осы оқиға белгіленген ықтималдықпен Р(А)=р, (Р( )=1-р-q) пайда болады десек.
Енді
Бернулли формуласымен қолданамыз:
n
сынау кезінде А оқиғасының n рет пайда
болуы немесе 0, немесе 1, немесе 2,... толық
оқиғасының қатарын құрайды,
яғни
.
Бұл ықтималдықтың биномальдық орналасуы деп аталады, өйткені (q+p)n ̶ биномының мүшелерімен сәйкес келеді.