Жаттығуға берілген есептер

1. Жәшікте 8 қызыл,10 жасыл,12 көк шар бар.Тандамай үш шар алынған. Кемінде екеуі бір түсті болу ықтималдығың табыңыз.

Жауабы: 0.763

2. Жұмысшы 4 демалыс үйіне жолдама алды.Олардың үшеуі-бірінші демалыс үйіне,үшеуі-екінші демалыс үйіне, екеуі-үшінші, ал төртеуі-төртінші демалыс үйіне жолдама алды.Белгілі бір үш жұмысшының бір демалыс үйіне бару ықтималдығы қандай.

Жауабы: 0.0273

3. Топта 25 студент бар,оның жетеуі үздік оқиды.Тізім бойынша қалай болса солай 4 студент таңдап алынған.Осы алынған 4 студенттің ең болмағанда біреуі үздік оқушы болу ықтималдығы қандай?

Жауабы:0.758

4. 36 картадан тұратын жиыннан калай болса солай 3 карта алынған.Алынған карталардың екеуі тұз болу ықтималдығы кандай?

Жауабы:0.0269

5. Бір партияда 10 бұйым бар,оның сегізі үлгілі.Тандамай алынған 2 бұйымның кемінде біреуі үлгілі болу ықтималдығые табыңыз?

Жауабы:44/45

6. Нысанаға үш рет оқ атылды.Екіден кем емесі тиюі ықтималдығын табыңыз?

Жауабы:3/4

2.2. Толық ықтималдықтың формуласы

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары ретінде толық ықтималдықтың формуласы деп аталатын формуланы келтіріп шығарайық.

оқиғалары толық жиын құратын, өзара үйлесімсіз оқиғалар болсын(гипотезалар) болсын. А оқиғасы осы оқиғалардың біреуі пайда болғанда ғана шартты түрде пайда болсын. Осы оқиғасының ықтималдығын табу қажет.

Теорема. Толық жиын құратын, өзара үйлесімсіз оқиғаларының (гипотезаларының) біреуі пайда болғанда ғана шартты түрде пайда болатын А оқиғасының ықтималдығы осы оқиғалардың әрбіреуінің ықтималдығын А-ның оларға сәйкес шартты ықтималдығына көбейтіп қосқанға тең:

Бұл формула толық ықтималдық формуласы деп аталады. Мұндағы

Дәлелдеу. Шарт бойынша

және .

оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан оқиғалары да үйлесімсіз болады. Онда ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары бойынша

Осы дәлелдеу талап етілген еді.

1 мысал. Екі жәшік бар, оның біріншісінде а-ақ, в-қара, екіншісінде с – ақ, d – қара шар болсын. Бірінші жәшіктен екіншіге таңдамай үш шар салынған ( ), шарлар мұқият араластырылғаннан кейін екінші жәшіктен бір шар алынады. Соңғы шардың ақ түсті болу ықтималдығы қандай?

Шешімі: А – екінші жәшіктен алынған шардың түсі ақ. Мынадай екі болжам (гипотеза) жасаймыз; екіншіден соңғы алынған шар 2 – жәшікке тиісті. Олардың ықтималдықтары:

.

Екіншіден, алынған шар 1 – жәшікке тиісті болса, онда оның ақ түсті болу шартты ықтималдығы:

Екіншіден алынған шар 2 – жәшікке тиісті болса, онда оның ақ түсті болу шартты ықтималдығы мынаған тең:

.

Ізделінді ықтималдық толық ықтималдық формуласы бойынша мынаған тең:

.

2 мысал. Бидай дәндерінің сапасын тексеру кезінде оларды, сапасына байланысты 3 топқа бөлуге болатыны анықталды. Бірінші топқа барлық дәннің 95 пайызы, екіншіге 3 пайызы, үшіншіге 2 пайызы жатады. Бірінші тонқа жататын тұқымдық дәннен, дәні 50 ден кем болмайтын масақ өсіп шығу ықтималдығы 0,6-ға тең, ал осы ықтималдық екінші топ үшін 0,2; үшінші топ үшін 0,05 болсын. Тәуекелге алынған дәннен 50 ден кем емес дәні бар масақ өсіп шығу ықтималдығы неге тең?

Шешімі: А – алынған дәннің ішінде 50ден кем емес дәні болатын масақ өсіп шығады. Мынадай болжам жасаймыз:

B₁ – алынған дән 1 топқа жатады; B₂ - алынған дән 2 топтан; B₃ - алынған дән 3 топтан. Олардың ықтималдығы сәйкес

P(B₁) = 0,95; P(B₂) = 0,03; P(B₃) = 0,02.

Алынған дән бірінші топтан болғанда, одан дәні 50 ден кем емес масақ өсіп шығуының шартты ықтималдығы P_B1(A)=0.6 Дән екінші топтан болғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы P_B2(A)=0,2, ал үшінші топ дәні үшін осындай шартты ықтималдық P_B3(A)=0,05 болады.

Ізделінді ықтималдық:

P(A)= P(B₁)* P_B1(A)+ P(B₂) *P_B2(A)+ P(B₃)* P_B3(A)=

0,95*0,6+0,03*0,2+0,02*0,05=0,577.