7. Қайталанбалы алмастырулар, мультижиындар

A = {a₁,…, a_n} жиыны берілсін. Бұл жиынның элементтерінен тізбектерді құрастырамыз. Бірінші a₁ элементін k₁ рет қайталаймыз. Екінші a₂ элементін k₂ рет, a_n элементін k_n рет: k₁ + k₂ +…+ k_n = m. Мұндай тізбектерді n элементтен (k₁,…, k_n) типті қайталанбалы алмастырулар немесе (k₁,…, k_n) типті мультижиындар деп аталады.

n-нен (k₁,…, k_n) типті алынған қайталанбалы алмастырулар саны P_n(k₁,…, k_n), және полиномиальдық коэфициент деп аталады.

Теорема 1. P_n(k₁,…, k_n) = .

Дәлелдеу. Егер барлық элементтер әр түрлі болса, онда m! алмастыруы болар еді. a₁ элементтерін k₁! әдіспен алмастыруға болады, a₂ элементтерін k₂! әдіспен ,...., a_n элементтерін – k_n! әдіспен, бірақ қайталанбалы алмастырулар саны бұдан өзгермейді. Онда қайталанбалы алмастырулар саны k₁!k₂!...k_n! есе аз. Сондықтан қайталанбалы алмастырулар саны P_m(k₁,…, k_n) = .

Есеп 1. “Гамма” сөзінің әріптерінен алмастырулармен неше сөз жазуға болады?

г, а және м әріптерінің қайталануына сәйкес k₁ = 1, k₂ = 2, k₃ = 2 – болсын. (1, 2, 2) типті қайталанбалы алмастырулар саны P₃(1,2, 2) = = 30 тең.

Есеп 2. Анасы 2 алма, 3 алмұрт, 4 шабдалы сатып алды. 9 күн қатарынан әрбір күні бір жемістен береді. Баласына жемістерді қанша тәсілмен бере алады?

Я-алма, г-алмұрт, а-шабдалы деп белгілейік. (2,3,4) типті қайталанбалы алмастырулар санын есептеу керек.

Бұл сан P₃(2, 3, 4) = = 1260.

Теорема 2. (x₁ + x₂ +…+ x_n)^m =

Бұл теорема коэффициенттер атын ақтайды. P_n(k₁,…, k_n). n = 2 болғанда бұл формула P_n(k₁, k₂) = = , өйткені k₁ + k₂.

II-Бөлім. Ықтималдықтар теориясының элементтері.

Оқиғиалар

Оқиғалар: ақиқатты, мүмкін емес және кездейсоқ болып бөлінеді.

Кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кейбір жағдайларға байланысты сынау кезінде оқиғалардың пайда болуы не болмау мүмкін оқиғаларды айтамыз.

Кездейсоқ оқиғалар: үйлесімсіз, бір ғана мүмкіндікті, тең-мүмкіндікті болып бөлінеді.

Оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір сынау кезінде оқиғаның пайда болуы оқиғалар бір-бірін шығару орын алатын болса.

Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар – егер оқиғалардың пайда болуы сынаудың нәтижесінде тек қана бір оқиғаның пайда болуы ақиқаты оқиға болып саналуын айтамыз.

Мүмкіндіктегі бірдей оқиғалар – оқиғалардың пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу мүмкіндігінен аспайтын оқиғаларды айтады.

Оқиғаларды А, В және С т.с.с. ретінде белгілейді.

Мысалы, мерген нысананы мылтықпен атады. Нысана үш бөліктен тұрады. Оқиғалар: “мерген бірінші аймаққка тигізді”, “мерген екінші аймаққка тигізді”, “мерген үшінші аймаққка тигізді”, “мерген нысанаға тигізе алмады”. Бір-бірімен үйлесімсіз, бір ретті мүмкіндікті, мүмкіндігі тең емес саналады. Оқиғаның пайда болуының сандық мәнін ықтимал деген ұғым сипаттайды.

Анықтама (классикалық ықтималдық): А оқиғасының ықтималдығы үшін барлық қолайлы оқиғаның нәтижесінің санынының (m), барлық элементтер оқиғалардың n-санының қатынасымен анықталады.

Р(А)= (1)

шамасын алады.

Ықтималдықтың анықтамасы бойынша:

1. Оқиғаның ақиқаттығының ықтималдығы 1-ге тең Р(А)=1.

2. Оқиғаның орындалмайтындығының ықтималдығы Р(В)=С нөлге тең.

3. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы – оң сан болады, ал сан мәні нөл мен 1-дің аралығында 0<Р(х)<1.

1 мысал. Тасталған 6 қырлы сүйектің түскен кездегі саны 3-ке еселетін сан екендігінің ықтималдығын табу керек. Ойын ақсүйегінің сынақ саны 6-ға тең, өйткені 6-жағы (қыры) бар. Шарт бойынша оқиғаның 2-і ғана рет орындалуы мүмкін (өйткені 1,2,3,4,5,6 сандарынан 2-ге 6 мен 3 еселі болып табылады): .

2 мысал. Группада 12 студент бар. Оның 5 өте жақсы оқиды. Тізім бойынша 6 студент алынды. Таңдап алынған студенттердің ішінде 2-і өте жақсы оқитын студент болып шығуының ықтималдығын табу керек.

Шешімі: жаяны таңдау:

Жауабы: .

3 мысал. Нысана бойына 70 рет оқ атылды, оның 35-і тиген, нысанаға тигізудің салыстырмалы жиілігін табу керек.

Шешуі: салыстырмалы жиілік: .