10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.

• Непрерывность функции в интервале и на отрезке:

1. Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

2. Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).

• Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения (теорема Вейерштрасса).

2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и

(теорема Больцано-Коши).

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

<Вернуться назад>

11. Точки разрыва и их классификация.

<Вернуться назад>

12. Производная, ее геометрический и механический смысл.

• Производная:

Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:

или

Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

• Геометрический смысл производной:

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси  и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Замечание: Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке  .

• Механический смысл производной:

Пусть задан путь  движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени  есть производная от пути  по времени :

<Вернуться назад>

13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу.

Найдем

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример:

 у=|х|, х0=0.

Dх>0,             ;

Dх<0,             .

В точке х0=0 функция непрерывна, но производной не существует.

<Вернуться назад>

14. Арифметические действия с производными.

<Вернуться назад>