5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
-
Теорема:
Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
-
Доказательство:
Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
-
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1.
Если
и
,
то
.
Следствие 2.
Если
и
c
=
const, то
.
<Вернуться назад>
6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
-
Второй замечательный предел:
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом:
Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).
<Вернуться назад>
7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
-
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
Пусть
- бесконечно малая при
.
Эквивалентность
всех величин таблицы можно доказать,
основываясь на равенстве
.
<Вернуться назад>
8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
-
Теорема: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
(См. 7. Сравнение бесконечно малых)
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как
т. е.
Отсюда
т. е. α~ß. Аналогично, если
то α
~ ß.
-
Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения:
Числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
Доказательство: Пусть в точке х = х0 имеем f(x) ~ α(x). Тогда
<Вернуться назад>
9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
-
Непрерывность функции в точке:
Функция f(x)
называется непрерывной в точке
,
если предел слева равен пределу справа
и совпадает со значением функции в точке
,
то есть:
Следствие:
Значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
-
Теорема о непрерывности сложной функций:
Пусть функция φ(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке x0=φ(t0).
Тогда функция f(φ(t)) непрерывна в точке t0.
<Вернуться назад>