2. Контрольная расчетная работа по кинематике Задача 2.1

Задача 2.1 относится к кинематике точки, способ задания движения координатный. Для определения скорости и ускорения точки следует найти их проекции на координатные оси. Используя найденные значения скорости и ускорения, можно определить касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории. Исходные данные приведены в табл. 5.

Таблица 5

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
	см	см	см	, см
1	t3+1	sint	sin2t	1
2	2t2–2	cost	cos2t	2
3	3t4–3	sint/2	sin2t/2	3
4	t3–4	cost/2	cos2t/2	1
5	3t2+5	sint/3	sin2t/3	2
6	4t-6	cost/3	cos2t/3	3
7	t3+7	sint/4	sin2t/4	1
8	4t2–8	cost/4	cos2t/4	2
9	5t+9	sint/6	sin2t/6	3
0	t2+10	cost/6	cos2t/6	1

Условия

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах (x, y, z в см, t в с). Определить величину и направление скорости и ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени , см.

Пример решения задачи 2.1

Условие. Решим задачу в случае, если уравнения движения точки в декартовых координатах имеют вид:

(для момента времени = 1 c).

Решение. 1. Определим проекции скорости на оси декартовых координат в указанный момент времени:

2. Модуль скорости точки в указанный момент времени:

3. Направление вектора скорости в данный момент времени определим с помощью направляющих косинусов:

4. Определим проекции ускорения на оси декартовых координат в указанный момент времени:

5. Модуль ускорения точки в указанный момент времени:

6. Направление вектора ускорения в данный момент времени определим с помощью направляющих косинусов:

7. Найдем модуль проекции ускорения точки на касательную (модуль касательного ускорения точки) через значения проекций скорости и ускорения на оси координат: .

Для заданного момента времени t₁

8. Модуль проекции ускорения точки на нормаль (нормальное ускорение) точки найдем из соотношения . Для заданного момента времени t₁

9. Радиус кривизны траектории  найдем из формулы для нормального ускорения точки откуда . В нашем случае

.