Пример решения задачи 1.1

У словие. На конструкции, состоящей из двух невесомых стержней АВ и АС, скрепленных между собой и с опорами с помощью шарниров, закреплен в узле А блок. Через блок перекинут невесомый канат, один конец которого прикреплен в точке D, а к другому подвешен груз Q. Определить усилия в стержнях, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитическим и графическим способами. Схема конструкции приведена на рис. 1, схема 2,  = 150, Q = 600 Н.

Аналитический способ решения. Изобразим блок А, пренебрегая его размерами (рис. 2). К нему приложены заданная сила тяжести подвешенного груза Q и реакции стержней АВ (S_B), АС (S_C), сила натяжения каната T. При отсутствии трения в блоке сила натяжения каната, перекинутого через блок, одинакова во всех точках, поэтому модуль силы натяжения каната T равен модулю силы тяжести груза Q, а направление этой реакции гибкой связи – вдоль каната от А к D. Реакции стержней направим вдоль стержней в произвольную сторону, например от узла А. Для нахождения проекций сил изобразим оси координат. Для узла А,

Рис. 1. Схемы к задаче 1.1

находящегося в равновесии под действием системы четырех сходящихся сил, расположенных в плоскости, составим два уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси координат и решим их.

Получим

Из второго уравнения найдем

Подставив выражение для S_B в первое из уравнений равновесия, получим

Знак минус у найденной реакции S_B означает, что истинное направление этой реакции противоположно выбранному, т.е. она направлена от В к А, и, следовательно, стержень АВ сжат. Стержень АС в соответствии с направлением реакции S_C растянут.

Г рафический (геометрический, графоаналитический) способ решения. Этот способ основан на построении замкнутого силового многоугольника (в нашем случае четырехугольника). Сначала сложим геометрически известные силы – Q и T, затем через начало первого вектора Q проведем прямую, параллельную линии действия одной из реакций, например S_B, а через конец последнего вектора T – прямую, параллельную линии действия второй неизвестной по модулю реакции S_C (рис. 3). Точка пересечения проведенных прямых дает графическое решение данной задачи. Для определения направления реакций обойдем периметр построенного силового многоугольника, причем направление этого обхода определяется направлением известных сил Q и T.

Значения реакций S_B и S_C определяются из решения соответствующего многоугольника, в нашем случае четырехугольника abcd. Разобьем его на два треугольника abc и acd.

В равнобедренном треугольнике abc

Применим к треугольнику adc теорему синусов

откуда

Для того чтобы определить сжаты или растянуты стержни AB и AC, перенесем с силового многоугольника найденные векторы S_B и S_C на соответствующие стержни (см. рис. 2), тогда реакция S_B будет направлена к узлу A, т.е. стержень AB сжат, а реакция S_C – от узла A, т.е. стержень AС растянут.