Задача 3.3

Задача решается с применением принципа Даламбера, позволяющего записать уравнения движения системы в форме уравнений равновесия. Для этого надо на схеме показать активные силы, реакции опор, силу инерции точечного груза и равнодействующую сил инерции стержня ED; составить уравнения равновесия плоской системы сил в выбранной системе координат и из решения этих уравнений найти требуемые величины. Исходные данные представлены в табл. 11.

Таблица 11

Цифра шифра	1-я цифра шифра				2-я цифра шифра			3-я цифра шифра
	Длины, см				Силы, Н			Номер схемы (рис. 22)	, град	n, об/мин
	a	B	l1	l2	Q	P1	P2
1	42	60	12	30	62	12	30	1	30	150
2	44	58	14	28	64	14	28	2	45	300
3	46	56	16	26	66	16	26	3	60	450
4	48	54	18	24	68	18	24	4	90	600
5	50	52	20	22	70	20	22	5	120	750
6	52	50	22	20	72	22	20	6	135	900
7	54	48	24	18	74	24	18	7	150	1050
8	56	46	26	16	76	26	16	8	210	1200
9	58	44	28	14	78	28	14	9	240	1350
0	60	42	30	12	80	30	12	10	300	1500

Условие

К вертикальному валу весом Q жестко приварен невесомый стержень длиной l₁ с точечным грузом М весом Р₁ на конце и тонкий однородный стержень ED длиной l₂ весом Р₂, лежащие в одной плоскости (рис. 22). Определить реакции подпятника А и цилиндрического подшипника B, если вал вращается равномерно с частотой вращения n об/мин.

Рис. 22. Схемы к задаче 3.3

Пример решения задачи 3.3

У

Рис. 23

словие. К вертикальному валу весом Q=64 Н жестко приварен невесомый стержень длиной l₁=14 см с точечным грузом М весом Р₁=14 Н на конце и тонкий однородный стержень ED длиной l₂=28 см весом Р₂=28 Н, расположенные в одной плоскости (рис. 23). Определить реакции подпятника А и цилиндрического подшипника B, если вал вращается рав­номерно с частотой вращения n=300 об/мин, угол =45⁰, a=44 см, b=58 см.

Решение. Введем вращающуюся вместе с валом систему координат Axy, как показано на рис. 23.

На вал действует плоская система сил: активные силы (Q, P₁, P₂), реакции подпятника А (R_Ax, R_Ay) и цилиндрического подшипника В (R_Bx). Введем в рассмотрение силы инерции Даламбера, которые присоединим к действующим на вал силам и введенным реакциям связей. Поскольку вал вращается с постоянной угловой скоростью, то касательные составляющие сил инерции равны нулю.

Центробежная сила инерции груза М равна

где – угловая скорость вала.

Сила инерции груза направлена в сторону, противоположную осестремительному ускорению точки М.

Для каждого элемента стержня ED массой m центробежная сила инерции определяется по формуле

,

где x – расстояние от элемента до оси вращения Ay.

Сила инерции элемента стержня направлена в сторону, противоположную осестремительному ускорению этого элемента.

Равнодействующая R^и этих распределенных по линейному закону параллельных сил проходит через центр тяжести треугольника EDK, на расстоянии и приводится к главному вектору сил инерции стержня ED

,

где – ускорение центра масс С стержня ED, x_С – абсцисса центра масс С стержня ED.

Полученная плоская система сил Q, P₁, P₂, R_Ax, R_Ay, R_By, F^и, и R^и в соответствии с принципом Даламбера является уравновешенной и для нее справедливы следующие уравнения равновесия:

Решая эту систему трех уравнений с тремя неизвестными реакциями, получим

Знак минус, полученный в результате расчета реакции R_Ax, показывает, что истинное направление этой реакции противоположно указанному на рис. 23.

Для проверки правильности выполненного решения подсчитаем сумму моментов всех сил относительно любой точки (кроме использованной при составлении уравнений равновесия), например точки В:

;

Полученный результат свидетельствует о правильности определения реакций.

Задания и методические указания к контрольным работам по курсам "Теоретическая механика" и "Теоретическая и прикладная механика" Часть 1

Подписано в печать __.__.__. Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. 2,63. Уч. - изд. л. 3,0. Тираж ___ экз. Заказ ___

Издательство Российского государственного профессионально-педагогического университета. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.